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Comment calculer un coefficient binomial (nk)\binom{n}{k} ?

En appliquant la formule (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

L'objectif

Calculer la valeur numérique de (nk)\binom{n}{k} à partir des entiers nn et kk.

Le principe

On développe la formule (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} puis on simplifie au maximum avant de multiplier, pour éviter des calculs inutilement lourds.

La méthode
  1. 1
    Vérifier que 0≤k≤n0 \leq k \leq n (sinon (nk)=0\binom{n}{k} = 0).
  2. 2
    Écrire (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} puis développer le numérateur : n!=n×(n−1)×⋯×(n−k+1)×(n−k)!n! = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1) \times (n-k)!, de sorte que (n−k)!(n-k)! se simplifie.
  3. 3
    Simplifier l'expression obtenue n(n−1)⋯(n−k+1)k!\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} en réduisant les facteurs communs, puis effectuer le calcul numérique.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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