Comment calculer un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?

En utilisant la symétrie $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

L'objectif

Calculer $\binom{n}{k}$ plus rapidement en choisissant le côté le plus petit ( $k$ ou $n-k$ ).

Le principe

Choisir $k$ ou $n-k$ pour obtenir le plus petit facteur et ainsi minimiser le nombre de multiplications.

La méthode

1
Comparer $k$ et $n-k$ : si $k > n/2$ , remplacer $\binom{n}{k}$ par $\binom{n}{n-k}$ .
2
Calculer $\binom{n}{\min(k,\, n-k)}$ avec la formule factorielle simplifiée $\dfrac{n(n-1)\cdots(n-j+1)}{j!}$ où $j = \min(k, n-k)$ , ce qui minimise le nombre de facteurs au numérateur.

Difficulté croissante de 1 à 4

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En utilisant la symétrie (nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}(kn​)=(n−kn​)