Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?

En invoquant la continuité des fonctions usuelles ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x) = x^3 - 2x + 5$ est continue en tout réel.

La méthode

1
Identifier le domaine de définition de $f$ au voisinage du point $a$ (vérifier que $f$ est bien définie en $a$ ).
2
Décomposer $f$ en fonctions élémentaires connues ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynôme, racine carrée) et en opérations (somme, produit, composée, quotient).
3
Vérifier que chaque fonction élémentaire est continue en $a$ (ou sur un voisinage de $a$ ), et que les opérations utilisées préservent la continuité (en particulier, pour un quotient, que le dénominateur est non nul en $a$ ).
4
Conclure que $f$ , obtenue par ces opérations, est continue en $a$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = x^3 - 2x + 5$ est continue en tout réel.

1

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ entier.

2

$f$ est un polynôme : $x^3$ , $2x$ et $5$ sont des polynômes.

3

Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$ , et la différence de fonctions continues est continue.

4

Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ en tant que polynôme.

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Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?

En invoquant la continuité des fonctions usuelles (exp⁡\expexp, ln⁡\lnln, sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos, polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En invoquant la continuité des fonctions usuelles ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)