Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ? | MetMat

Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?

En invoquant la continuité des fonctions usuelles ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)

Établir la continuité d'une fonction en un point en reconnaissant qu'elle est construite à partir de fonctions continues par des opérations qui préservent la continuité.

L'objectif

Établir la continuité d'une fonction en un point en reconnaissant qu'elle est construite à partir de fonctions continues par des opérations qui préservent la continuité.

Le principe

Les fonctions $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , les polynômes et la racine carrée (sur $[0,+\infty[$ ) sont continues sur leur domaine de définition ; la somme, le produit, la composée et le quotient (quand le dénominateur est non nul) de fonctions continues sont continus.

La méthode

1
Identifier le domaine de définition de $f$ au voisinage du point $a$ (vérifier que $f$ est bien définie en $a$ ).
2
Décomposer $f$ en fonctions élémentaires connues ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynôme, racine carrée) et en opérations (somme, produit, composée, quotient).
3
Vérifier que chaque fonction élémentaire est continue en $a$ (ou sur un voisinage de $a$ ), et que les opérations utilisées préservent la continuité (en particulier, pour un quotient, que le dénominateur est non nul en $a$ ).
4
Conclure que $f$ , obtenue par ces opérations, est continue en $a$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = x^3 - 2x + 5$ est continue en tout réel.

Étape 1 —

Identifier le domaine de définition de

f

au voisinage du point

a

(vérifier que

f

est bien définie en

a

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ entier.

Étape 2 —

Décomposer

f

en fonctions élémentaires connues (

\exp

\ln

\sin

\cos

, polynôme, racine carrée) et en opérations (somme, produit, composée, quotient).

$f$ est un polynôme : $x^3$ , $2x$ et $5$ sont des polynômes.

Étape 3 —

Vérifier que chaque fonction élémentaire est continue en

a

(ou sur un voisinage de

a

), et que les opérations utilisées préservent la continuité (en particulier, pour un quotient, que le dénominateur est non nul en

a

Les polynômes sont continus sur $\mathbb{R}$ , et la différence de fonctions continues est continue.

Étape 4 —

Conclure que

f

, obtenue par ces opérations, est continue en

a

Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ en tant que polynôme.

Application guidée

Montrer que $g(x) = e^{x^2 - 1}$ est continue en $a = 1$ .

Application autonome 1

Montrer que $h(x) = \dfrac{\ln x}{x - 1}$ est continue en $a = 2$ .

Application autonome 2

Montrer que $k(x) = \sqrt{\cos x + 2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Montrer que $p(x) = \sin(\ln x) + \sqrt{x}$ est continue en $a = 1$ .

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En invoquant la continuité des fonctions usuelles (exp⁡\expexp, ln⁡\lnln, sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos, polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)

Pour comprendre, fais des exercices !

En invoquant la continuité des fonctions usuelles ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)