Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?

En invoquant la continuité des fonctions usuelles ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)

L'objectif

Établir la continuité d'une fonction en un point en reconnaissant qu'elle est construite à partir de fonctions continues par des opérations qui préservent la continuité.

Le principe

Les fonctions $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , les polynômes et la racine carrée (sur $[0,+\infty[$ ) sont continues sur leur domaine de définition ; la somme, le produit, la composée et le quotient (quand le dénominateur est non nul) de fonctions continues sont continus.

La méthode

1
J'identifie le domaine de définition de $f$ au voisinage du point $a$ (je vérifie que $f$ est bien définie en $a$ ).
2
Je décompose $f$ en fonctions élémentaires connues ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynôme, racine carrée) et en opérations (somme, produit, composée, quotient).
3
Je vérifie que chaque fonction élémentaire est continue en $a$ (ou sur un voisinage de $a$ ), et que les opérations utilisées préservent la continuité (en particulier, pour un quotient, que le dénominateur est non nul en $a$ ).
4
Je conclus que $f$ , obtenue par ces opérations, est continue en $a$ .

Exemple corrigé

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En invoquant la continuité des fonctions usuelles (exp⁡\expexp, ln⁡\lnln, sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos, polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)

Exemple corrigé

En invoquant la continuité des fonctions usuelles ( $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , polynômes, racine) et la stabilité par opérations (somme, produit, composée, quotient si dénominateur non nul)