Comment encadrer une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction ?

En utilisant : si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a,b]$ , alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b-a)$

L'objectif

Obtenir un encadrement de $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ sans calculer la valeur exacte, à partir de bornes de $f$ .

Le principe

Si $f$ est bornée par $m$ et $M$ sur $[a,b]$ , l'aire sous la courbe est comprise entre les aires des rectangles de hauteur $m$ et $M$ .

La méthode

1
Identifier l'intervalle $[a, b]$ et calculer sa longueur $b - a$ .
2
Déterminer un minorant $m$ et un majorant $M$ de $f$ sur $[a, b]$ (en étudiant les variations, ou en utilisant les valeurs en $a$ et $b$ si $f$ est monotone).
3
Appliquer l'inégalité : $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b-a)$ .

Difficulté croissante de 1 à 3

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En utilisant : si m≤f(x)≤Mm \leq f(x) \leq Mm≤f(x)≤M sur [a,b][a,b][a,b], alors m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a)m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b-a)m(b−a)≤∫ab​f(x)dx≤M(b−a)