Comment encadrer une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction ? | MetMat

Comment encadrer une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction ?

En comparant deux fonctions : si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$

Comparer deux intégrales en établissant une inégalité entre les fonctions sur l'intervalle d'intégration.

L'objectif

Comparer deux intégrales en établissant une inégalité entre les fonctions sur l'intervalle d'intégration.

Le principe

L'intégrale est une opération monotone : si $f \leq g$ sur $[a,b]$ et $a < b$ , alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ .

La méthode

1
Identifier les deux fonctions $f$ et $g$ à comparer, et l'intervalle $[a, b]$ .
2
Montrer (par dérivation, étude de signe, ou inégalité classique) que $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$ .
3
Conclure que $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ , et en déduire l'encadrement ou la comparaison demandée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\int_0^1 \sin x\,\mathrm{d}x \leq \int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ .

Étape 1 —

Identifier les deux fonctions

f

g

à comparer, et l'intervalle

[a, b]

On compare $f(x) = \sin x$ et $g(x) = x$ sur $[0, 1]$ .

Étape 2 —

Montrer (par dérivation, étude de signe, ou inégalité classique) que

f(x) \leq g(x)

pour tout

x \in [a, b]

Pour tout $x \in [0, 1]$ , on a $\sin x \leq x$ (inégalité classique, la droite est au-dessus de la courbe sinus sur $[0, +\infty[$ ).

Étape 3 —

Conclure que

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x

, et en déduire l'encadrement ou la comparaison demandée.

Par croissance de l'intégrale : $\int_0^1 \sin x\,\mathrm{d}x \leq \int_0^1 x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}$ .

$\int_0^1 \sin x\,\mathrm{d}x \leq \dfrac{1}{2}$

Application guidée

Encadrer $\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x$ à l'aide de $\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{1+x^3} \leq 1$ sur $[0,1]$ .

Application autonome 1

Montrer que $1 \leq \int_0^1 e^{x^2}\,\mathrm{d}x \leq e$ .

Application autonome 2

Montrer que $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x \leq \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 3

Montrer que $\dfrac{1}{2} \leq \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x \leq 1$ .

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