Comment encadrer une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction ?

En comparant deux fonctions : si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$

L'objectif

Comparer deux intégrales en établissant une inégalité entre les fonctions sur l'intervalle d'intégration.

Le principe

L'intégrale est une opération monotone : si $f \leq g$ sur $[a,b]$ et $a < b$ , alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ .

La méthode

1
Identifier les deux fonctions $f$ et $g$ à comparer, et l'intervalle $[a, b]$ .
2
Montrer (par dérivation, étude de signe, ou inégalité classique) que $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$ .
3
Conclure que $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ , et en déduire l'encadrement ou la comparaison demandée.

Difficulté croissante de 1 à 3

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En comparant deux fonctions : si f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x)f(x)≤g(x) sur [a,b][a,b][a,b], alors ∫abf≤∫abg\int_a^b f \leq \int_a^b g∫ab​f≤∫ab​g