Comment encadrer une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction ? | MetMat

Comment encadrer une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction ?

En comparant deux fonctions : si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$

Comparer deux intégrales en établissant une inégalité entre les fonctions sur l'intervalle d'intégration.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\int_0^1 \sin x\,\mathrm{d}x \leq \int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ .

L'objectif

Comparer deux intégrales en établissant une inégalité entre les fonctions sur l'intervalle d'intégration.

Le principe

L'intégrale est une opération monotone : si $f \leq g$ sur $[a,b]$ et $a < b$ , alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ .

La méthode

1
Identifier les deux fonctions $f$ et $g$ à comparer, et l'intervalle $[a, b]$ .
2
Montrer (par dérivation, étude de signe, ou inégalité classique) que $f(x) \leq g(x)$ pour tout $x \in [a, b]$ .
3
Conclure que $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ , et en déduire l'encadrement ou la comparaison demandée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\int_0^1 \sin x\,\mathrm{d}x \leq \int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ .

Étape 1 —

Identifier les deux fonctions

f

g

à comparer, et l'intervalle

[a, b]

On compare $f(x) = \sin x$ et $g(x) = x$ sur $[0, 1]$ .

Étape 2 —

Montrer (par dérivation, étude de signe, ou inégalité classique) que

f(x) \leq g(x)

pour tout

x \in [a, b]

Pour tout $x \in [0, 1]$ , on a $\sin x \leq x$ (inégalité classique, la droite est au-dessus de la courbe sinus sur $[0, +\infty[$ ).

Étape 3 —

Conclure que

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x

, et en déduire l'encadrement ou la comparaison demandée.

Par croissance de l'intégrale : $\int_0^1 \sin x\,\mathrm{d}x \leq \int_0^1 x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}$ .

$\int_0^1 \sin x\,\mathrm{d}x \leq \dfrac{1}{2}$

Application guidée

Encadrer $\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x$ à l'aide de $\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{1+x^3} \leq 1$ sur $[0,1]$ .

Application autonome 1

Montrer que $1 \leq \int_0^1 e^{x^2}\,\mathrm{d}x \leq e$ .

Application autonome 2

Montrer que $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x \leq \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 3

Montrer que $\dfrac{1}{2} \leq \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x \leq 1$ .

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