En trouvant une primitive $F$ de $f$ , puis en calculant $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

Calculer exactement $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ en utilisant le théorème fondamental de l'analyse.

L'objectif

Calculer exactement $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ en utilisant le théorème fondamental de l'analyse.

Le principe

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ .

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ à intégrer et l'intervalle $[a, b]$ .
2
Trouver une primitive $F$ de $f$ (choisir la plus simple, constante d'intégration omise).
Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?Voir
3
Écrire $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b$ .
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir
4
Calculer $F(b) - F(a)$ et simplifier.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\int_1^3 (2x + 1)\,\mathrm{d}x$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

à intégrer et l'intervalle

[a, b]

$f(x) = 2x + 1$ sur $[1, 3]$ .

Étape 2 —

Trouver une primitive

F

f

(choisir la plus simple, constante d'intégration omise).

Une primitive est $F(x) = x^2 + x$ .

Étape 3 —

Écrire

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b

$\int_1^3 (2x + 1)\,\mathrm{d}x = [x^2 + x]_1^3$ .

Étape 4 —

Calculer

F(b) - F(a)

et simplifier.

$= (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$ .

$10$

Application guidée

Calculer $\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 1

Calculer $\int_0^{\pi/2} \cos x\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 2

Calculer $\int_1^e \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 3

Calculer $\int_0^1 (3x+1)^4\,\mathrm{d}x$ .

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