Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ? | MetMat

Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?

En écrivant $u_n = f(n)$ et en étudiant les variations de la fonction $f$

Déterminer le sens de variation d'une suite en se ramenant à l'étude d'une fonction dérivable.

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite en se ramenant à l'étude d'une fonction dérivable.

Le principe

Si $u_n = f(n)$ et $f$ est dérivable sur $[0, +\infty[$ , alors $f' \geq 0$ implique $(u_n)$ croissante et $f' \leq 0$ implique $(u_n)$ décroissante.

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ telle que $u_n = f(n)$ pour tout $n \geq 0$ (ou $n \geq n_0$ ).
2
Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe sur $[0, +\infty[$ (ou sur $[n_0, +\infty[$ ).
3
Conclure sur la monotonie de $f$ sur cet intervalle, puis reporter cette monotonie à la suite $(u_n)$ .
4
Préciser la conclusion : si $f'(x) > 0$ pour tout $x \geq 0$ , alors $(u_n)$ est strictement croissante ; si $f'(x) < 0$ , elle est strictement décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \dfrac{n}{n+2}$ pour $n \geq 0$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

telle que

u_n = f(n)

pour tout

n \geq 0

(ou

n \geq n_0

On pose $f(x) = \dfrac{x}{x+2}$ , définie et dérivable sur $[0, +\infty[$ .

Étape 2 —

Calculer la dérivée

f'(x)

et étudier son signe sur

[0, +\infty[

(ou sur

[n_0, +\infty[

$f'(x) = \dfrac{(x+2) - x}{(x+2)^2} = \dfrac{2}{(x+2)^2}$ .

Étape 3 —

Conclure sur la monotonie de

f

sur cet intervalle, puis reporter cette monotonie à la suite

(u_n)

$f'(x) = \dfrac{2}{(x+2)^2} > 0$ pour tout $x \geq 0$ donc $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ .

Étape 4 —

Préciser la conclusion : si

f'(x) > 0

pour tout

x \geq 0

, alors

(u_n)

est strictement croissante ; si

f'(x) < 0

, elle est strictement décroissante.

La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.

La suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Application guidée

Étudier la monotonie de la suite $u_n = n e^{-n}$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 1

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 2

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \ln(n+1) - \ln(n)$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 3

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \dfrac{n^2}{2^n}$ pour $n \geq 0$ .

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