Comment reconnaître si des vecteurs forment une base d'un plan ou de l'espace ?

En vérifiant que les vecteurs ne sont pas colinéaires (base d'un plan) ou non coplanaires (base de l'espace) par leurs coordonnées

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Les vecteurs $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 4)$ forment-ils une base du plan ?

La méthode

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Je lis ou calcule les coordonnées des vecteurs à tester.
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Pour deux vecteurs (base du plan) : je vérifie que leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
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Pour trois vecteurs (base de l'espace) : je suppose que $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ et je résous le système ; s'il est incompatible, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.
Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?Voir
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Je conclus : si les vecteurs passent le test d'indépendance, ils forment une base (du plan ou de l'espace selon le contexte).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Les vecteurs $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 4)$ forment-ils une base du plan ?

1

$\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 4)$ .

2

Je cherche si les coordonnées sont proportionnelles : $\frac{3}{1} = 3$ mais $\frac{4}{2} = 2 \neq 3$ .

3

Les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

4

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls et non colinéaires : ils forment une base du plan.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ forment une base du plan.

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