Comment appliquer le principe multiplicatif pour compter les éléments d'un produit cartésien ?

En identifiant les k choix successifs indépendants et en multipliant leurs nombres de possibilités

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un restaurant propose $3$ entrées, $5$ plats et $4$ desserts. Combien de menus complets (une entrée, un plat, un dessert) peut-on composer ?

La méthode

1
Je décompose la situation en étapes successives clairement ordonnées : étape 1, étape 2, ..., étape $k$ .
2
Pour chaque étape $i$ , je détermine le nombre $n_i$ de possibilités, en vérifiant que ce nombre ne dépend pas des choix effectués aux étapes précédentes (indépendance).
3
Si certaines étapes ne sont pas indépendantes, je raisonne conditionnellement : le nombre de possibilités à l'étape $i$ peut dépendre des choix précédents, mais reste constant quel que soit le choix précis fait.
4
J'applique le principe multiplicatif : nombre total $= n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Un restaurant propose $3$ entrées, $5$ plats et $4$ desserts. Combien de menus complets (une entrée, un plat, un dessert) peut-on composer ?

1

La construction d'un menu se décompose en $3$ étapes : choisir l'entrée, choisir le plat, choisir le dessert.

2

Étape 1 : $3$ choix d'entrée ; étape 2 : $5$ choix de plat ; étape 3 : $4$ choix de dessert.

3

Le choix du plat ne dépend pas de l'entrée choisie, et le choix du dessert ne dépend pas des précédents : les étapes sont indépendantes.

4

Nombre total de menus $= 3 \times 5 \times 4 = 60$ .

On peut composer $60$ menus complets différents.

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