En appliquant $d(A,B) = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Calculer la distance entre deux points $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ de l'espace.

L'objectif

Calculer la distance entre deux points $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ de l'espace.

Le principe

Dans un repère orthonormé, $d(A,B) = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

La méthode

1
Lire les coordonnées de $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ .
2
Calculer les différences : $\Delta x = x_B - x_A$ , $\Delta y = y_B - y_A$ , $\Delta z = z_B - z_A$ .
3
Appliquer la formule : $d(A,B) = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$ et simplifier.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Distance simple entre deux points

Étape 1 —

Lire les coordonnées de

A(x_A; y_A; z_A)

B(x_B; y_B; z_B)

$A(1;2;3)$ et $B(4;6;3)$ .

Étape 2 —

Calculer les différences :

\Delta x = x_B - x_A

\Delta y = y_B - y_A

\Delta z = z_B - z_A

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 0$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

d(A,B) = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}

et simplifier.

$d(A,B) = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$ .

$d(A,B) = 5$

Application guidée

Exemple 2 — Longueur de la diagonale d'un cube de côté $a$

Application autonome 1

Exemple 3 — Points avec coordonnées négatives

Application autonome 2

Exemple 4 — Vérification qu'un triangle est équilatéral

Application autonome 3

Exemple 5 — Distance dans un parallélépipède

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