Comment étudier une suite d'intégrales $I_n$ vérifiant une relation de récurrence ?

$I_0 = \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = [e^x]_0^1 = e - 1$.

IPP avec $u = x^{n+1}$, $v' = e^x$ : $I_{n+1} = [x^{n+1} e^x]_0^1 - (n+1)\int_0^1 x^n e^x\,\mathrm{d}x = e - (n+1)I_n$.

Sur $[0,1]$, $0 \leq x^n e^x \leq e$ donc $0 \leq I_n \leq e$. De plus $x^{n+1} \leq x^n$ sur $[0,1]$ donc la suite $(I_n)$ est décroissante.

$(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc converge. En encadrant : $0 \leq I_n \leq \int_0^1 x^n e\,\mathrm{d}x = \dfrac{e}{n+1} \to 0$. Par gendarmes, $I_n \to 0$.