Comment étudier une suite d'intégrales $I_n$ vérifiant une relation de récurrence ?

En cherchant la relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ par intégration par parties, puis en étudiant la monotonie de $(I_n)$ par encadrement pour trouver la limite

L'objectif

Établir les propriétés (monotonie, limite, expression) d'une suite $(I_n)$ définie par des intégrales dépendant du paramètre $n$ .

Le principe

On exploite la formule d'IPP pour relier $I_{n+1}$ à $I_n$ , et on utilise la croissance de l'intégrale pour encadrer $I_n$ et déterminer sa limite.

La méthode

1
Calculer $I_0$ (ou $I_1$ ) directement comme valeur initiale de la suite.
2
Établir la relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$ (par IPP, en posant $u$ et $v'$ adaptés, ou par linéarité).
Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?Voir
3
Étudier la monotonie de $(I_n)$ : montrer que $I_{n+1} - I_n$ ou $\dfrac{I_{n+1}}{I_n}$ garde un signe constant, en utilisant un encadrement de l'intégrande.
4
Trouver la limite de $(I_n)$ : encadrer $I_n$ par des termes dont la limite est connue, ou utiliser le théorème des gendarmes.
Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ?Voir

Difficulté croissante de 1 à 2

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En cherchant la relation entre In+1I_{n+1}In+1​ et InI_nIn​ par intégration par parties, puis en étudiant la monotonie de (In)(I_n)(In​) par encadrement pour trouver la limite