Comment étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

Pour $x \geq 2$, $f(x) = \sqrt{2+x} \geq \sqrt{2+2} = 2$. Donc $f([2, +\infty)) \subset [2, +\infty)$ : l'intervalle $I = [2, +\infty)$ est stable. De plus $f$ est continue sur $I$.

Par récurrence : $u_0 = 2 \in I$. Si $u_n \geq 2$, alors $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \geq 2 \in I$. Donc $u_n \geq 2$ pour tout $n$.

Étudions le signe de $f(x) - x = \sqrt{2+x} - x$ sur $[2, +\infty)$. On a $\sqrt{2+x} \leq x \Leftrightarrow 2+x \leq x^2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1) \geq 0$. Pour $x \geq 2$, c'est vrai. Donc $u_{n+1} \leq u_n$ : la suite est décroissante.

La suite est décroissante et minorée par $2$, donc elle converge. L'équation $\ell = \sqrt{2+\ell}$ donne $\ell = 2$ (point fixe positif). La limite est $2$.