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Comment étudier une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) ?

En montrant que ff est une fonction continue d'un intervalle II stable dans lui-même, puis en appliquant le théorème de convergence des suites monotones bornées

L'objectif

Démontrer la convergence d'une suite un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) en établissant que ff est stable sur un intervalle II contenant tous les termes, puis en prouvant la monotonie.

Le principe

Si ff est continue sur II et f(I)⊂If(I) \subset I, alors un∈Iu_n \in I pour tout nn (suite bornée) ; si de plus la suite est monotone, le théorème des suites monotones bornées garantit la convergence.

La méthode
  1. 1
    Je cherche un intervalle II stable par ff : je résous f(I)⊂If(I) \subset I, c'est-à-dire je vérifie que pour tout x∈Ix \in I, f(x)∈If(x) \in I. Souvent, I=[a,b]I = [a, b] est guidé par la valeur initiale u0u_0 et le point fixe.
  2. 2
    Je démontre par récurrence que un∈Iu_n \in I pour tout nn : u0∈Iu_0 \in I par hypothèse, et si un∈Iu_n \in I alors un+1=f(un)∈f(I)⊂Iu_{n+1} = f(u_n) \in f(I) \subset I.
  3. 3
    Je montre la monotonie en étudiant le signe de un+1−un=f(un)−unu_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n pour un∈Iu_n \in I (souvent via le signe de f(x)−xf(x) - x sur II).
    Voir
  4. 4
    Je conclus : la suite est monotone et bornée (dans II), donc elle converge par le théorème des suites monotones bornées. Sa limite est le point fixe de ff dans II.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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