Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?

En utilisant le tableau des primitives usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer une primitive de $f(x) = x^4$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

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Identifier la famille de la fonction : puissance $x^n$ , $\dfrac{1}{x}$ , exponentielle $e^x$ , ou trigonométrique $\cos x$ ou $\sin x$ .
2
Appliquer la formule correspondante du tableau : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (si $n \neq -1$ ), $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$ .
3
Si la fonction est une combinaison linéaire $af(x) + bg(x)$ , primitiviser terme à terme en utilisant la linéarité : $F(x) = aF_1(x) + bF_2(x)$ .
4
Ajouter la constante $C \in \mathbb{R}$ et préciser l'ensemble sur lequel la primitive est valable.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer une primitive de $f(x) = x^4$ sur $\mathbb{R}$ .

1

La fonction est de la forme $x^n$ avec $n = 4$ .

2

On applique la formule : $x^4 \to \dfrac{x^{4+1}}{4+1} = \dfrac{x^5}{5}$ .

3

Il n'y a qu'un seul terme, donc pas de combinaison linéaire à traiter.

4

Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F(x) = \dfrac{x^5}{5} + C$ , $C \in \mathbb{R}$ .

$F(x) = \dfrac{x^5}{5} + C$

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Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?

En utilisant le tableau des primitives usuelles : xn→xn+1n+1x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}xn→n+1xn+1​, 1x→ln⁡∣x∣\dfrac{1}{x} \to \ln|x|x1​→ln∣x∣, ex→exe^x \to e^xex→ex, cos⁡x→sin⁡x\cos x \to \sin xcosx→sinx, sin⁡x→−cos⁡x\sin x \to -\cos xsinx→−cosx

Pour comprendre, passons aux exercices.

En utilisant le tableau des primitives usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$