Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ? | MetMat

Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?

En utilisant le tableau des primitives usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$

Trouver une primitive d'une fonction usuelle ou d'une combinaison linéaire de fonctions usuelles.

L'objectif

Trouver une primitive d'une fonction usuelle ou d'une combinaison linéaire de fonctions usuelles.

Le principe

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; les primitives de $x^n$ ( $n \neq -1$ ), $\frac{1}{x}$ , $e^x$ , $\cos x$ , $\sin x$ sont données par le tableau usuel, et la primitivation est linéaire.

La méthode

1
Identifier la famille de la fonction : puissance $x^n$ , $\dfrac{1}{x}$ , exponentielle $e^x$ , ou trigonométrique $\cos x$ ou $\sin x$ .
2
Appliquer la formule correspondante du tableau : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (si $n \neq -1$ ), $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$ .
3
Si la fonction est une combinaison linéaire $af(x) + bg(x)$ , primitiviser terme à terme en utilisant la linéarité : $F(x) = aF_1(x) + bF_2(x)$ .
4
Ajouter la constante $C \in \mathbb{R}$ et préciser l'ensemble sur lequel la primitive est valable.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer une primitive de $f(x) = x^4$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Identifier la famille de la fonction : puissance

x^n

\dfrac{1}{x}

, exponentielle

e^x

, ou trigonométrique

\cos x

\sin x

La fonction est de la forme $x^n$ avec $n = 4$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule correspondante du tableau :

x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}

(si

n \neq -1

\dfrac{1}{x} \to \ln|x|

e^x \to e^x

\cos x \to \sin x

\sin x \to -\cos x

On applique la formule : $x^4 \to \dfrac{x^{4+1}}{4+1} = \dfrac{x^5}{5}$ .

Étape 3 —

Si la fonction est une combinaison linéaire

af(x) + bg(x)

, primitiviser terme à terme en utilisant la linéarité :

F(x) = aF_1(x) + bF_2(x)

Il n'y a qu'un seul terme, donc pas de combinaison linéaire à traiter.

Étape 4 —

Ajouter la constante

C \in \mathbb{R}

et préciser l'ensemble sur lequel la primitive est valable.

Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F(x) = \dfrac{x^5}{5} + C$ , $C \in \mathbb{R}$ .

$F(x) = \dfrac{x^5}{5} + C$

Application guidée

Calculer une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Application autonome 1

Calculer une primitive de $f(x) = e^x - \sin x$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Calculer une primitive de $f(x) = 3\cos x + 2x^2 - 5$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Calculer une primitive de $f(x) = \dfrac{4}{x} + 3e^x - 2\sin x$ sur $]0 ; +\infty[$ .

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En utilisant le tableau des primitives usuelles : xn→xn+1n+1x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}xn→n+1xn+1​, 1x→ln⁡∣x∣\dfrac{1}{x} \to \ln|x|x1​→ln∣x∣, ex→exe^x \to e^xex→ex, cos⁡x→sin⁡x\cos x \to \sin xcosx→sinx, sin⁡x→−cos⁡x\sin x \to -\cos xsinx→−cosx

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant le tableau des primitives usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$