En résolvant le système de deux équations cartésiennes à trois inconnues : exprimer deux variables en fonction de la troisième pour obtenir la représentation paramétrique de la droite d'intersection

Trouver une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans non parallèles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1 : x + y + z = 1$ et $\mathcal{P}_2 : x - y + z = 3$ .

L'objectif

Trouver une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans non parallèles.

Le principe

Deux plans non parallèles se coupent selon une droite : en paramétrant librement l'une des variables (par exemple $z = t$ ), on exprime les deux autres en fonction de $t$ .

La méthode

1
Vérifier que les deux plans ne sont pas parallèles (leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires), puis poser $z = t$ (ou choisir la variable la plus simple à paramétrer).
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
2
Substituer $z = t$ dans les deux équations cartésiennes pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ .
3
Résoudre ce système par substitution ou combinaison linéaire pour exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$ .
4
Écrire la représentation paramétrique de la droite d'intersection sous la forme $\begin{cases} x = x_0 + a\,t \\ y = y_0 + b\,t \\ z = t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1 : x + y + z = 1$ et $\mathcal{P}_2 : x - y + z = 3$ .

Étape 1 —

Vérifier que les deux plans ne sont pas parallèles (leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires), puis poser

z = t

(ou choisir la variable la plus simple à paramétrer).

Les normales $\vec{n}_1(1,1,1)$ et $\vec{n}_2(1,-1,1)$ ne sont pas colinéaires, donc les plans se coupent. On pose $z = t$ .

Étape 2 —

Substituer

z = t

dans les deux équations cartésiennes pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues

x

y

Le système devient : $\begin{cases} x + y = 1 - t \\ x - y = 3 - t \end{cases}$ .

Étape 3 —

Résoudre ce système par substitution ou combinaison linéaire pour exprimer

x

y

en fonction de

t

En additionnant : $2x = 4 - 2t \Rightarrow x = 2 - t$ . En soustrayant : $2y = -2 \Rightarrow y = -1$ .

Étape 4 —

Écrire la représentation paramétrique de la droite d'intersection sous la forme

\begin{cases} x = x_0 + a\,t \\ y = y_0 + b\,t \\ z = t \end{cases}

t \in \mathbb{R}

La droite d'intersection est $\begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 \\ z = t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$ . Vecteur directeur : $(-1, 0, 1)$ , point : $(2, -1, 0)$ .

$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 \\ z = t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$

Application guidée

Déterminer la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1 : 2x - y + z = 4$ et $\mathcal{P}_2 : x + y - z = 2$ .

Application autonome 1

Déterminer la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1 : x + 2y - z = 3$ et $\mathcal{P}_2 : 2x - y + 3z = 1$ .

Application autonome 2

Déterminer la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1 : x - z = 2$ et $\mathcal{P}_2 : y + z = 1$ .

Application autonome 3

Déterminer la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1 : 3x + y - 2z = 5$ et $\mathcal{P}_2 : x - y + z = 1$ .

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