Comment déterminer l'intersection de deux plans ?
En résolvant le système de deux équations cartésiennes à trois inconnues : exprimer deux variables en fonction de la troisième pour obtenir la représentation paramétrique de la droite d'intersection
L'objectif
Trouver une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans non parallèles.
Le principe
Deux plans non parallèles se coupent selon une droite : en paramétrant librement l'une des variables (par exemple ), on exprime les deux autres en fonction de .
La méthode
- 1Vérifier que les deux plans ne sont pas parallèles (leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires), puis poser (ou choisir la variable la plus simple à paramétrer).Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
- 2Substituer dans les deux équations cartésiennes pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues et .
- 3Résoudre ce système par substitution ou combinaison linéaire pour exprimer et en fonction de .
- 4Écrire la représentation paramétrique de la droite d'intersection sous la forme $$\begin{cases} x = x_0 + a\,t \\ y = y_0 + b\,t \\ z = t \end{cases}$$ , .
Exemple corrigé
Difficulté croissante de 1 à 5
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