Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ? | MetMat

Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ?

En calculant $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ (finie) : la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe

Déterminer les asymptotes horizontales d'une courbe en calculant les limites de la fonction en $+\infty$ et en $-\infty$ .

L'objectif

Déterminer les asymptotes horizontales d'une courbe en calculant les limites de la fonction en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Le principe

La droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ (respectivement $-\infty$ ) si et seulement si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (respectivement $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell$ ), avec $\ell \in \mathbb{R}$ .

La méthode

1
Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : si cette limite est un réel fini $\ell$ , alors $y = \ell$ est asymptote horizontale en $+\infty$ .
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?Voir
2
Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ : si cette limite est un réel fini $m$ , alors $y = m$ est asymptote horizontale en $-\infty$ .
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?Voir
3
Vérifier si $\ell = m$ (une seule AH) ou $\ell \neq m$ (deux AH distinctes, l'une à gauche, l'autre à droite).
4
Énoncer clairement : «La droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ .»

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x) = \dfrac{3x}{x + 2}$ . Déterminer les asymptotes horizontales.

Étape 1 —

Calculer

\lim_{x \to +\infty} f(x)

: si cette limite est un réel fini

\ell

, alors

y = \ell

est asymptote horizontale en

+\infty

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x}{x+2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x}{x(1 + 2/x)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{1 + 2/x} = 3$ . Donc $y = 3$ est AH en $+\infty$ .

Étape 2 —

Calculer

\lim_{x \to -\infty} f(x)

: si cette limite est un réel fini

m

, alors

y = m

est asymptote horizontale en

-\infty

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x}{x+2} = 3$ (même calcul, les termes $2/x \to 0$ ). Donc $y = 3$ est AH en $-\infty$ .

Étape 3 —

Vérifier si

\ell = m

(une seule AH) ou

\ell \neq m

(deux AH distinctes, l'une à gauche, l'autre à droite).

Les deux limites sont égales : une seule asymptote horizontale.

Étape 4 —

Énoncer clairement : «La droite

y = \ell

est asymptote horizontale à la courbe de

f

+\infty

.»

La droite $y = 3$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

$y = 3$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $\pm\infty$ .

Application guidée

Soit $f(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$ . Déterminer les asymptotes horizontales.

Application autonome 1

Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ . Déterminer les asymptotes horizontales.

Application autonome 2

Soit $f(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}$ . Déterminer les asymptotes horizontales.

Application autonome 3

Soit $f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 3}$ . Déterminer les asymptotes horizontales.

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En calculant lim⁡x→±∞f(x)=ℓ\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \elllimx→±∞​f(x)=ℓ (finie) : la droite y=ℓy = \elly=ℓ est asymptote horizontale à la courbe

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ (finie) : la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe