Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ?

En calculant $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ (finie) : la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x) = \dfrac{3x}{x + 2}$ . Déterminer les asymptotes horizontales.

La méthode

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Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : si cette limite est un réel fini $\ell$ , alors $y = \ell$ est asymptote horizontale en $+\infty$ .
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?Voir
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Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ : si cette limite est un réel fini $m$ , alors $y = m$ est asymptote horizontale en $-\infty$ .
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?Voir
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Vérifier si $\ell = m$ (une seule AH) ou $\ell \neq m$ (deux AH distinctes, l'une à gauche, l'autre à droite).
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Énoncer clairement : «La droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ .»

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $f(x) = \dfrac{3x}{x + 2}$ . Déterminer les asymptotes horizontales.

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$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x}{x+2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x}{x(1 + 2/x)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{1 + 2/x} = 3$ . Donc $y = 3$ est AH en $+\infty$ .

2

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x}{x+2} = 3$ (même calcul, les termes $2/x \to 0$ ). Donc $y = 3$ est AH en $-\infty$ .

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Les deux limites sont égales : une seule asymptote horizontale.

4

La droite $y = 3$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

$y = 3$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $\pm\infty$ .

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Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ?

En calculant lim⁡x→±∞f(x)=ℓ\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \elllimx→±∞​f(x)=ℓ (finie) : la droite y=ℓy = \elly=ℓ est asymptote horizontale à la courbe

Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ (finie) : la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe