Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ? | MetMat

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec le vecteur normal $\vec{n}$ du plan, puis en cherchant l'intersection avec le plan

Déterminer les coordonnées du pied $H$ de la perpendiculaire abaissée de $M_0$ sur le plan $\mathcal{P}$ .

L'objectif

Déterminer les coordonnées du pied $H$ de la perpendiculaire abaissée de $M_0$ sur le plan $\mathcal{P}$ .

Le principe

La perpendiculaire à $\mathcal{P}$ issue de $M_0$ a pour vecteur directeur le vecteur normal $\vec{n}=(a,b,c)$ du plan ; son intersection avec $\mathcal{P}$ est le projeté $H$ .

La méthode

1
Identifier le vecteur normal $\vec{n}=(a,b,c)$ du plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ .
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
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Écrire la droite perpendiculaire à $\mathcal{P}$ passant par $M_0(x_0,y_0,z_0)$ : $H(x_0+at,\; y_0+bt,\; z_0+ct)$ .
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Substituer les coordonnées de $H$ dans l'équation du plan et résoudre en $t$ : $a(x_0+at)+b(y_0+bt)+c(z_0+ct)+d=0$ , soit $(a^2+b^2+c^2)t = -(ax_0+by_0+cz_0+d)$ .
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Calculer $t^* = -\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ , puis substituer pour obtenir les coordonnées de $H$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Plan $z=0$ (plan $xOy$ ), point quelconque

Étape 1 —

Identifier le vecteur normal

\vec{n}=(a,b,c)

du plan

\mathcal{P}

d'équation

ax+by+cz+d=0

Le plan est $z=0$ , équation $0x+0y+1z+0=0$ , donc $\vec{n}=(0,0,1)$ .

Étape 2 —

Écrire la droite perpendiculaire à

\mathcal{P}

passant par

M_0(x_0,y_0,z_0)

H(x_0+at,\; y_0+bt,\; z_0+ct)

Droite passant par $M_0(3,1,5)$ : $H(3,\;1,\;5+t)$ .

Étape 3 —

Substituer les coordonnées de

H

dans l'équation du plan et résoudre en

t

a(x_0+at)+b(y_0+bt)+c(z_0+ct)+d=0

, soit

(a^2+b^2+c^2)t = -(ax_0+by_0+cz_0+d)

Substitution : $5+t=0 \Rightarrow t=-5$ .

Étape 4 —

Calculer

t^* = -\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}

, puis substituer pour obtenir les coordonnées de

H

$H(3,\;1,\;0)$ .

$H(3,\,1,\,0)$

Application guidée

Exemple 2 — Plan $2x - y + 2z - 3 = 0$ , point $M_0(1, 0, 1)$

Application autonome 1

Exemple 3 — Plan $x + y + z - 6 = 0$ , point $M_0(0, 0, 0)$

Application autonome 2

Exemple 4 — Plan $3x - 2y + z + 4 = 0$ , point $M_0(2, 1, -1)$

Application autonome 3

Exemple 5 — Plan $x - 2z + 5 = 0$ , point $M_0(3, 4, 1)$

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En paramétrant la droite passant par M0M_0M0​ avec le vecteur normal n⃗\vec{n}n du plan, puis en cherchant l'intersection avec le plan

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En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec le vecteur normal $\vec{n}$ du plan, puis en cherchant l'intersection avec le plan