Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

En identifiant $E(X) = \mu$ et $V(X)$ , en choisissant $\varepsilon > 0$ , puis en appliquant $P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$

L'objectif

Majorer la probabilité qu'une variable aléatoire $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $\varepsilon$ .

Le principe

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que pour toute variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$ , et pour tout $\varepsilon > 0$ : $P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
J'identifie l'espérance $\mu = E(X)$ et la variance $V(X)$ de la variable aléatoire $X$ (à partir de la loi, ou des formules connues pour les lois usuelles).
Comment calculer l'espérance et la variance de la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?Voir
2
Je repère la valeur de $\varepsilon > 0$ donnée dans l'énoncé (écart à l'espérance que l'on cherche à contrôler).
3
J'applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .
4
Je calcule numériquement le membre de droite $\dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$ et j'interprète : la probabilité de s'écarter de $\mu$ d'au moins $\varepsilon$ est au plus égale à cette valeur.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En identifiant E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ et V(X)V(X)V(X), en choisissant ε>0\varepsilon > 0ε>0, puis en appliquant P(∣X−μ∣≥ε)≤V(X)ε2P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}P(∣X−μ∣≥ε)≤ε2V(X)​

Exemple corrigé

En identifiant $E(X) = \mu$ et $V(X)$ , en choisissant $\varepsilon > 0$ , puis en appliquant $P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}$