Comment démontrer une identité combinatoire ?
En donnant un argument combinatoire (compter le même ensemble de deux façons différentes)
L'objectif
Démontrer une identité combinatoire en exhibant un ensemble dénombré de deux façons différentes qui correspondent aux deux membres.
Le principe
Si deux expressions dénombrent le même ensemble, elles sont égales : on cherche donc un problème de comptage naturel dont les deux membres sont deux stratégies de résolution.
La méthode
- 1Identifier un ensemble dont le cardinal est naturellement lié à l'un des membres de l'identité (souvent le membre le plus simple).
- 2Compter d'une première façon pour retrouver le membre gauche, puis d'une seconde façon (en partitionnant ou en changeant l'ordre du choix) pour retrouver le membre droit.
- 3Conclure : puisque les deux dénombrements comptent le même ensemble, les deux membres sont égaux.
Exemple corrigé
Difficulté croissante de 1 à 3
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