Comment démontrer une identité combinatoire ?

En calculant algébriquement les deux membres avec les formules de factorielles

Prouver qu'une identité entre coefficients binomiaux est vraie en réduisant chaque membre à une même expression.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Démontrer que $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .

L'objectif

Prouver qu'une identité entre coefficients binomiaux est vraie en réduisant chaque membre à une même expression.

Le principe

On remplace chaque $\binom{n}{k}$ par $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ , on factorise ou on met au même dénominateur, puis on vérifie que les deux expressions sont identiques.

La méthode

1
Développer chaque coefficient binomial des deux membres avec la formule $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ .
2
Simplifier chaque membre séparément : mettre au même dénominateur, factoriser les factorielles, annuler les termes communs.
3
Vérifier que les deux membres simplifiés sont identiques et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Démontrer que $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .

Étape 1 —

Développer chaque coefficient binomial des deux membres avec la formule

\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}

.

Membre gauche : $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ . Membre droit : $\binom{n}{n-k} = \dfrac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}$ .

Étape 2 —

Simplifier chaque membre séparément : mettre au même dénominateur, factoriser les factorielles, annuler les termes communs.

Les deux expressions sont identiques : $\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}$ .

Étape 3 —

Vérifier que les deux membres simplifiés sont identiques et conclure.

L'égalité est établie pour tout $0 \leq k \leq n$ .

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

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