Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ? | MetMat

Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?

En substituant la condition initiale $(x_0, y_0)$ dans la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$ pour déterminer la constante $C$

Trouver la solution unique d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale $y(x_0) = y_0$ , et la vérifier rigoureusement.

L'objectif

Trouver la solution unique d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale $y(x_0) = y_0$ , et la vérifier rigoureusement.

Le principe

Pour chaque condition initiale $(x_0, y_0)$ , il existe une unique valeur de $C$ telle que $Ce^{ax_0} + y_p(x_0) = y_0$ ; cette valeur donne la solution particulière du problème de Cauchy.

La méthode

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Écrire la solution générale $y(x) = Ce^{ax} + y_p(x)$ de l'équation différentielle.
Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay$ ?Voir
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Substituer la condition initiale : remplacer $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$ dans la solution générale pour obtenir une équation en $C$ : $Ce^{ax_0} + y_p(x_0) = y_0$ .
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir
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Résoudre cette équation pour trouver $C$ : $C = \left(y_0 - y_p(x_0)\right)e^{-ax_0}$ .
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir
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Écrire la solution particulière, puis vérifier : (1) calculer $y'(x)$ et contrôler que $y'(x) = ay(x) + f(x)$ ; (2) calculer $y(x_0)$ et vérifier que $y(x_0) = y_0$ .
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir

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Exercice d'exemple

L'équation $y' = 2y - 4$ a pour solution générale $y = Ce^{2x} + 2$ . Trouver la solution vérifiant $y(0) = 5$ .

Étape 1 —

Écrire la solution générale

y(x) = Ce^{ax} + y_p(x)

de l'équation différentielle.

La solution générale est $y(x) = Ce^{2x} + 2$ , $C \in \mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Substituer la condition initiale : remplacer

x

par

x_0

y

par

y_0

dans la solution générale pour obtenir une équation en

C

Ce^{ax_0} + y_p(x_0) = y_0

On substitue $x = 0$ , $y = 5$ : $Ce^{0} + 2 = 5 \Rightarrow C + 2 = 5$ .

Étape 3 —

Résoudre cette équation pour trouver

C

C = \left(y_0 - y_p(x_0)\right)e^{-ax_0}

On résout : $C = 3$ .

Étape 4 —

Écrire la solution particulière, puis vérifier : (1) calculer

y'(x)

et contrôler que

y'(x) = ay(x) + f(x)

; (2) calculer

y(x_0)

et vérifier que

y(x_0) = y_0

Solution : $y(x) = 3e^{2x} + 2$ . Vérif. éq. diff. : $y' = 6e^{2x}$ et $2y-4 = 6e^{2x}+4-4 = 6e^{2x}$ ✓. Vérif. CI : $y(0) = 3+2 = 5$ ✓.

$y(x) = 3e^{2x} + 2$

Application guidée

L'équation $y' = -y + 3$ a pour solution générale $y = Ce^{-x} + 3$ . Trouver la solution vérifiant $y(1) = 3 + e^{-1}$ .

Application autonome 1

L'équation $y' = 3y$ a pour solution générale $y = Ce^{3x}$ . Trouver la solution vérifiant $y(\ln 2) = 12$ .

Application autonome 2

L'équation $y' = -0{,}5y + 10$ a pour solution générale $y = Ce^{-0{,}5x} + 20$ . Trouver la solution vérifiant $y(0) = 20$ et interpréter.

Application autonome 3

L'équation $y' = 2y + 4e^x$ a pour solution générale $y = Ce^{2x} - 4e^x$ . Trouver la solution vérifiant $y(0) = -2$ , puis vérifier dans l'équation et la condition.

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En substituant la condition initiale (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​) dans la solution générale y=Ceax+ypy = Ce^{ax} + y_py=Ceax+yp​ pour déterminer la constante CCC

Pour comprendre, fais des exercices !

En substituant la condition initiale $(x_0, y_0)$ dans la solution générale $y = Ce^{ax} + y_p$ pour déterminer la constante $C$