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Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?

En calculant f′′f'' et en étudiant son signe : f′′>0f'' > 0 sur II signifie ff convexe sur II, f′′<0f'' < 0 signifie ff concave

L'objectif

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité d'une fonction à partir du signe de sa dérivée seconde.

Le principe

Si ff est deux fois dérivable sur II, alors ff est convexe sur II si et seulement si f′′≥0f'' \geq 0 sur II, et concave sur II si et seulement si f′′≤0f'' \leq 0 sur II.

La méthode
  1. 1
    Calculer f′(x)f'(x) puis f′′(x)f''(x) en appliquant les règles de dérivation.
    Voir
  2. 2
    Chercher les zéros de f′′f'' et les valeurs où f′′f'' n'est pas définie.
  3. 3
    Étudier le signe de f′′f'' sur chaque sous-intervalle obtenu et dresser le tableau de signe de f′′f''.
  4. 4
    Conclure : sur les intervalles où f′′>0f'' > 0, ff est convexe (courbe au-dessus de ses tangentes, f′f' croissante) ; sur les intervalles où f′′<0f'' < 0, ff est concave (courbe en-dessous de ses tangentes, f′f' décroissante).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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