Comment calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan ? | MetMat

Comment calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec $\vec{n}$ comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan

Calculer les coordonnées du point $H$ projeté orthogonal d'un point $M_0$ sur un plan $\mathcal{P}$ .

L'objectif

Calculer les coordonnées du point $H$ projeté orthogonal d'un point $M_0$ sur un plan $\mathcal{P}$ .

Le principe

Le projeté orthogonal $H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M_0$ : il est à l'intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite passant par $M_0$ perpendiculairement à $\mathcal{P}$ .

La méthode

1
Identifier le vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ du plan $\mathcal{P}$ (lecture des coefficients de l'équation cartésienne).
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
2
Écrire la représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $M_0(x_0, y_0, z_0)$ et dirigée par $\vec{n}$ : $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ .
3
Substituer les expressions de $x$ , $y$ , $z$ dans l'équation cartésienne du plan pour trouver la valeur de $t$ .
Comment déterminer l'équation cartésienne d'un plan ?Voir
4
Calculer les coordonnées de $H$ en substituant la valeur de $t$ trouvée dans la représentation paramétrique de $\Delta$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(1, 2, 3)$ sur le plan $\mathcal{P} : x + y + z = 0$ .

Étape 1 —

Identifier le vecteur normal

\vec{n}(a, b, c)

du plan

\mathcal{P}

(lecture des coefficients de l'équation cartésienne).

Le vecteur normal est $\vec{n}(1, 1, 1)$ .

Étape 2 —

Écrire la représentation paramétrique de la droite

\Delta

passant par

M_0(x_0, y_0, z_0)

et dirigée par

\vec{n}

\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}

La droite passant par $M_0$ et dirigée par $\vec{n}$ : $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$ .

Étape 3 —

Substituer les expressions de

x

y

z

dans l'équation cartésienne du plan pour trouver la valeur de

t

Substitution dans $x + y + z = 0$ : $(1+t) + (2+t) + (3+t) = 0 \Rightarrow 6 + 3t = 0 \Rightarrow t = -2$ .

Étape 4 —

Calculer les coordonnées de

H

en substituant la valeur de

t

trouvée dans la représentation paramétrique de

\Delta

$H = (1-2, 2-2, 3-2) = (-1, 0, 1)$ .

$H(-1, 0, 1)$

Application guidée

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(3, 0, -1)$ sur le plan $\mathcal{P} : 2x - y + 2z + 3 = 0$ .

Application autonome 1

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(0, 0, 4)$ sur le plan $\mathcal{P} : z = 1$ .

Application autonome 2

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(2, 1, 5)$ sur le plan $\mathcal{P} : x - 2y + 2z - 1 = 0$ , et en déduire la distance de $M_0$ à $\mathcal{P}$ .

Application autonome 3

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(1, -1, 2)$ sur le plan $\mathcal{P} : 2x + y - z + 4 = 0$ .

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En paramétrant la droite passant par M0M_0M0​ avec n⃗\vec{n}n comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan

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En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec $\vec{n}$ comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan