Comment calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec $\vec{n}$ comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(1, 2, 3)$ sur le plan $\mathcal{P} : x + y + z = 0$ .

La méthode

1
Identifier le vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ du plan $\mathcal{P}$ (lecture des coefficients de l'équation cartésienne).
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
2
Écrire la représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $M_0(x_0, y_0, z_0)$ et dirigée par $\vec{n}$ : $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ .
3
Substituer les expressions de $x$ , $y$ , $z$ dans l'équation cartésienne du plan pour trouver la valeur de $t$ .
Comment déterminer l'équation cartésienne d'un plan ?Voir
4
Calculer les coordonnées de $H$ en substituant la valeur de $t$ trouvée dans la représentation paramétrique de $\Delta$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer le projeté orthogonal de $M_0(1, 2, 3)$ sur le plan $\mathcal{P} : x + y + z = 0$ .

1

Le vecteur normal est $\vec{n}(1, 1, 1)$ .

2

La droite passant par $M_0$ et dirigée par $\vec{n}$ : $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$ .

3

Substitution dans $x + y + z = 0$ : $(1+t) + (2+t) + (3+t) = 0 \Rightarrow 6 + 3t = 0 \Rightarrow t = -2$ .

4

$H = (1-2, 2-2, 3-2) = (-1, 0, 1)$ .

$H(-1, 0, 1)$

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Comment calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

En paramétrant la droite passant par M0M_0M0​ avec n⃗\vec{n}n comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan

Pour comprendre, passons aux exercices.

En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec $\vec{n}$ comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan