Comment calculer l'espérance et la variance de la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ? | MetMat

Comment calculer l'espérance et la variance de la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?

En décomposant $X = X_1 + \cdots + X_n$ (variables de Bernoulli indépendantes de même loi), puis en appliquant $E(X) = np$ par linéarité et $V(X) = np(1-p)$ par additivité

Calculer l'espérance et la variance d'une variable $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ en utilisant les formules $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ .

L'objectif

Calculer l'espérance et la variance d'une variable $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ en utilisant les formules $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ .

Le principe

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , on décompose $X = X_1 + \cdots + X_n$ avec $X_i \sim \mathcal{B}(1, p)$ i.i.d. : la linéarité donne $E(X) = nE(X_i) = np$ , et l'additivité donne $V(X) = nV(X_i) = np(1-p)$ .

La méthode

1
Identifier les paramètres $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité de succès) de la loi binomiale $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ .
2
Rappeler la décomposition $X = X_1 + \cdots + X_n$ où les $X_i \sim \mathcal{B}(1, p)$ sont indépendantes, avec $E(X_i) = p$ et $V(X_i) = p(1-p)$ .
Comment exprimer une variable aléatoire comme somme de variables plus simples ?Voir
3
Appliquer la linéarité de l'espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = np$ .
Comment calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires par linéarité ?Voir
4
Appliquer l'additivité de la variance (variables indépendantes) : $V(X) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i) = np(1-p)$ . En déduire l'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ .
Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{B}(10; 0{,}3)$ . Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Étape 1 —

Identifier les paramètres

n

(nombre d'épreuves) et

p

(probabilité de succès) de la loi binomiale

X \sim \mathcal{B}(n, p)

$n = 10$ et $p = 0{,}3$ , donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres $10$ et $0{,}3$ .

Étape 2 —

Rappeler la décomposition

X = X_1 + \cdots + X_n

où les

X_i \sim \mathcal{B}(1, p)

sont indépendantes, avec

E(X_i) = p

V(X_i) = p(1-p)

$X = X_1 + \cdots + X_{10}$ avec $X_i \sim \mathcal{B}(1; 0{,}3)$ i.i.d., $E(X_i) = 0{,}3$ , $V(X_i) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$ .

Étape 3 —

Appliquer la linéarité de l'espérance :

E(X) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = np

$E(X) = 10 \times 0{,}3 = 3$ .

Étape 4 —

Appliquer l'additivité de la variance (variables indépendantes) :

V(X) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i) = np(1-p)

. En déduire l'écart-type

\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

$V(X) = 10 \times 0{,}21 = 2{,}1$ et $\sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45$ .

$E(X) = 3$ , $V(X) = 2{,}1$ , $\sigma(X) = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}45$ .

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{B}(20; 0{,}5)$ . Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Application autonome 1

On lance $30$ fois un dé équilibré à $6$ faces. Soit $X$ le nombre de fois que le $6$ apparaît. Calculer $E(X)$ et $V(X)$ .

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{B}(50; 0{,}4)$ . Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ .

Application autonome 3

Dans une production industrielle, $15\,\%$ des pièces sont défectueuses. On prélève $100$ pièces au hasard. Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses. Calculer $E(X)$ , $V(X)$ et interpréter.

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En décomposant X=X1+⋯+XnX = X_1 + \cdots + X_nX=X1​+⋯+Xn​ (variables de Bernoulli indépendantes de même loi), puis en appliquant E(X)=npE(X) = npE(X)=np par linéarité et V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p)V(X)=np(1−p) par additivité

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant $X = X_1 + \cdots + X_n$ (variables de Bernoulli indépendantes de même loi), puis en appliquant $E(X) = np$ par linéarité et $V(X) = np(1-p)$ par additivité