Comment calculer un angle entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans ?

En utilisant $\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ (valeur absolue pour l'angle entre droites ou plans)

L'objectif

Calculer l'angle $\theta$ entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans à l'aide de la formule faisant intervenir le produit scalaire et les normes.

Le principe

Angle entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ , résultat dans $[0;\pi]$ . Angle entre deux droites ou deux plans : $\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ , résultat dans $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ (on prend la valeur absolue car une droite a deux sens, un plan a deux normales).

La méthode

1
Identifier les vecteurs à utiliser : vecteurs directeurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ pour des droites, vecteurs normaux $\vec{n_1}$ , $\vec{n_2}$ pour des plans, ou directement les vecteurs pour des angles entre vecteurs.
2
Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ , les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ .
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir
3
Appliquer la formule adaptée : $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ (vecteurs) ou $\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ (droites ou plans).
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En déduire $\theta = \arccos(\cdots)$ et exprimer le résultat en degrés ou en radians.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En utilisant cos⁡θ=∣u⃗⋅v⃗∣∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}cosθ=∥u∥∥v∥∣u⋅v∣​ (valeur absolue pour l'angle entre droites ou plans)

Exemple corrigé

En utilisant $\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ (valeur absolue pour l'angle entre droites ou plans)