Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?
Utiliser la convexité pour obtenir des inégalités : soit via la tangente (la courbe est au-dessus), soit via les sécantes (définition géométrique par position relative).
Choisissez une approche :
En utilisant que la courbe de convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes :
Démontrer une inégalité en choisissant judicieusement un point de tangence $a$ et en exploitant que la convexité de $f$ implique $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$.
En utilisant que la courbe de convexe est au-dessus de ses sécantes (définition géométrique de la convexité)
Exploiter la définition géométrique de la convexité : pour $f$ convexe et $a < b$, tous les points de la courbe entre $a$ et $b$ sont en-dessous de la corde reliant $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$... ou au-dessus selon le sens.