Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ? | MetMat

Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?

En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$

Démontrer des inégalités classiques du type $e^x \geq 1 + x$ ou $\ln x \leq x - 1$ en utilisant la convexité d'une fonction et la position de sa courbe par rapport à ses tangentes.

L'objectif

Démontrer des inégalités classiques du type $e^x \geq 1 + x$ ou $\ln x \leq x - 1$ en utilisant la convexité d'une fonction et la position de sa courbe par rapport à ses tangentes.

Le principe

Si $f$ est convexe sur $I$ , alors pour tout $a \in I$ et tout $x \in I$ : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ . On choisit $a$ tel que la tangente donne exactement l'inégalité souhaitée.

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ et montrer qu'elle est convexe sur son domaine en calculant $f''$ et en vérifiant $f'' \geq 0$ .
Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?Voir
2
Choisir le point de tangence $a$ judicieusement : souvent $a = 0$ ou $a = 1$ , de façon que l'inégalité $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ corresponde exactement à l'inégalité à démontrer.
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Écrire la tangente en $a$ : $T_a : y = f(a) + f'(a)(x - a)$ , puis appliquer l'inégalité de convexité : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ .
4
Conclure en précisant les conditions d'égalité (en général $x = a$ ) et l'ensemble de validité de l'inégalité.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Démontrer que $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

et montrer qu'elle est convexe sur son domaine en calculant

f''

et en vérifiant

f'' \geq 0

On pose $f(x) = e^x$ . $f''(x) = e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , donc $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Choisir le point de tangence

a

judicieusement : souvent

a = 0

a = 1

, de façon que l'inégalité

f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)

corresponde exactement à l'inégalité à démontrer.

On choisit $a = 0$ : $f(0) = 1$ , $f'(0) = 1$ . La tangente en $0$ a pour équation $y = 1 + x$ .

Étape 3 —

Écrire la tangente en

a

T_a : y = f(a) + f'(a)(x - a)

, puis appliquer l'inégalité de convexité :

f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)

Par convexité de $f$ : $e^x \geq f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Étape 4 —

Conclure en précisant les conditions d'égalité (en général

x = a

) et l'ensemble de validité de l'inégalité.

Donc $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .

$e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .

Application guidée

Démontrer que $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ .

Application autonome 1

Démontrer que $e^x \geq ex$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Démontrer que $\ln x \leq \dfrac{x}{e}$ pour tout $x > 0$ , avec égalité en $x = e$ .

Application autonome 3

Démontrer que $e^x \geq 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$ pour tout $x \geq 0$ .

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En utilisant que la courbe de fff convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$