Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?

En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Démontrer que $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

La méthode

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Identifier la fonction $f$ et montrer qu'elle est convexe sur son domaine en calculant $f''$ et en vérifiant $f'' \geq 0$ .
Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?Voir
2
Choisir le point de tangence $a$ judicieusement : souvent $a = 0$ ou $a = 1$ , de façon que l'inégalité $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ corresponde exactement à l'inégalité à démontrer.
3
Écrire la tangente en $a$ : $T_a : y = f(a) + f'(a)(x - a)$ , puis appliquer l'inégalité de convexité : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ .
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Conclure en précisant les conditions d'égalité (en général $x = a$ ) et l'ensemble de validité de l'inégalité.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Démontrer que $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

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On pose $f(x) = e^x$ . $f''(x) = e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , donc $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

2

On choisit $a = 0$ : $f(0) = 1$ , $f'(0) = 1$ . La tangente en $0$ a pour équation $y = 1 + x$ .

3

Par convexité de $f$ : $e^x \geq f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

4

Donc $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .

$e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .

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Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?

En utilisant que la courbe de fff convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$