Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?

En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$

L'objectif

Démontrer des inégalités classiques du type $e^x \geq 1 + x$ ou $\ln x \leq x - 1$ en utilisant la convexité d'une fonction et la position de sa courbe par rapport à ses tangentes.

Le principe

Si $f$ est convexe sur $I$ , alors pour tout $a \in I$ et tout $x \in I$ : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ . On choisit $a$ tel que la tangente donne exactement l'inégalité souhaitée.

La méthode

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Identifier la fonction $f$ et montrer qu'elle est convexe sur son domaine en calculant $f''$ et en vérifiant $f'' \geq 0$ .
Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?Voir
2
Choisir le point de tangence $a$ judicieusement : souvent $a = 0$ ou $a = 1$ , de façon que l'inégalité $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ corresponde exactement à l'inégalité à démontrer.
3
Écrire la tangente en $a$ : $T_a : y = f(a) + f'(a)(x - a)$ , puis appliquer l'inégalité de convexité : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ .
4
Conclure en précisant les conditions d'égalité (en général $x = a$ ) et l'ensemble de validité de l'inégalité.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En utilisant que la courbe de fff convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)

Exemple corrigé

En utilisant que la courbe de $f$ convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$