Comment étudier les variations et les limites d'une fonction avec $\ln$ ? | MetMat

Comment étudier les variations et les limites d'une fonction avec $\ln$ ?

En calculant $f'$ , en étudiant son signe pour dresser le tableau de variations, puis en calculant les limites en $0^+$ et en $+\infty$ avec les résultats connus sur $\ln$

Dresser le tableau de variations complet d'une fonction contenant $\ln$ et déterminer ses limites aux bornes du domaine.

L'objectif

Dresser le tableau de variations complet d'une fonction contenant $\ln$ et déterminer ses limites aux bornes du domaine.

Le principe

On calcule $f'$ avec $(\ln u)' = u'/u$ , on étudie le signe de $f'$ pour déterminer les monotonies, et on utilise $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ .

La méthode

1
Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}_f$ (condition $u(x) > 0$ pour tout $\ln(u(x))$ ).
2
Calculer $f'(x)$ en utilisant $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ , la règle du produit ou du quotient si nécessaire.
Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir $\ln$ ?Voir
3
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathcal{D}_f$ : résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les extrema éventuels, puis déterminer le signe de $f'$ sur chaque intervalle.
4
Calculer les limites aux bornes du domaine en utilisant $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ , et les résultats sur les croissances comparées si nécessaire.
Comment calculer des limites faisant intervenir $\ln$ (dont $x\ln x$ en $0$) ?Voir
5
Dresser le tableau de variations complet en indiquant le sens de variation (croissant $\nearrow$ ou décroissant $\searrow$ ), les extrema et les limites aux bornes.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier les variations et les limites de $f(x) = x - \ln x$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ .

Étape 1 —

Déterminer le domaine de définition

\mathcal{D}_f

(condition

u(x) > 0

pour tout

\ln(u(x))

$\ln x$ est défini pour $x > 0$ , donc $\mathcal{D}_f = \left]0\,;\,+\infty\right[$ .

Étape 2 —

Calculer

f'(x)

en utilisant

(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

, la règle du produit ou du quotient si nécessaire.

$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$ .

Étape 3 —

Étudier le signe de

f'(x)

sur

\mathcal{D}_f

: résoudre

f'(x) = 0

pour trouver les extrema éventuels, puis déterminer le signe de

f'

sur chaque intervalle.

Pour $x > 0$ , le dénominateur $x > 0$ . Donc $f'(x) < 0 \Leftrightarrow x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$ ; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ ; $f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 1$ . $f$ est décroissante sur $]0\,;\,1]$ et croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ . Minimum en $x = 1$ : $f(1) = 1 - \ln 1 = 1$ .

Étape 4 —

Calculer les limites aux bornes du domaine en utilisant

\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty

\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty

, et les résultats sur les croissances comparées si nécessaire.

Limites aux bornes : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car $x \gg \ln x$ ).

Étape 5 —

Dresser le tableau de variations complet en indiquant le sens de variation (croissant

\nearrow

ou décroissant

\searrow

), les extrema et les limites aux bornes.

Tableau de variations :

La fonction admet un minimum global de $1$ en $x = 1$ .

$f$ est décroissante sur $]0\,;1]$ , croissante sur $[1\,;+\infty[$ , avec un minimum de $1$ en $x=1$ . $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ .

Application guidée

Étudier les variations et les limites de $f(x) = x\ln x$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ .

Application autonome 1

Étudier les variations et les limites de $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ .

Application autonome 2

Étudier les variations et les limites de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Étudier les variations et les limites de $f(x) = x - \ln(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$ .

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En calculant f′f'f′, en étudiant son signe pour dresser le tableau de variations, puis en calculant les limites en 0+0^+0+ et en +∞+\infty+∞ avec les résultats connus sur ln⁡\lnln

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $f'$ , en étudiant son signe pour dresser le tableau de variations, puis en calculant les limites en $0^+$ et en $+\infty$ avec les résultats connus sur $\ln$