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Comment étudier les variations et les limites d'une fonction avec ln⁡\ln ?

En calculant f′f', en étudiant son signe pour dresser le tableau de variations, puis en calculant les limites en 0+0^+ et en +∞+\infty avec les résultats connus sur ln⁡\ln

L'objectif

Dresser le tableau de variations complet d'une fonction contenant ln⁡\ln et déterminer ses limites aux bornes du domaine.

Le principe

On calcule f′f' avec (ln⁡u)′=u′/u(\ln u)' = u'/u, on étudie le signe de f′f' pour déterminer les monotonies, et on utilise lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty et lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty.

La méthode
  1. 1
    Déterminer le domaine de définition Df\mathcal{D}_f (condition u(x)>0u(x) > 0 pour tout ln⁡(u(x))\ln(u(x))).
  2. 2
    Calculer f′(x)f'(x) en utilisant (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}, la règle du produit ou du quotient si nécessaire.
    Voir
  3. 3
    Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur Df\mathcal{D}_f : résoudre f′(x)=0f'(x) = 0 pour trouver les extrema éventuels, puis déterminer le signe de f′f' sur chaque intervalle.
  4. 4
    Calculer les limites aux bornes du domaine en utilisant lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty, lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty, et les résultats sur les croissances comparées si nécessaire.
    Voir
  5. 5
    Dresser le tableau de variations complet en indiquant le sens de variation (croissant ↗\nearrow ou décroissant ↘\searrow), les extrema et les limites aux bornes.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 2

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