Comment représenter une succession d'épreuves par un arbre et calculer des probabilités ?

En construisant l'arbre des possibilités, en multipliant les probabilités le long d'une branche (indépendance), puis en additionnant les branches correspondant à l'événement souhaité

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance une pièce équilibrée deux fois. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois Face.

La méthode

1
Dessiner l'arbre en faisant partir un nœud pour chaque épreuve, avec une branche par issue possible, étiquetée par sa probabilité.
2
Calculer la probabilité de chaque chemin (issue complète) en multipliant les probabilités de toutes les branches qui le composent.
3
Identifier les chemins qui correspondent à l'événement souhaité, puis additionner leurs probabilités pour obtenir $P(A)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On lance une pièce équilibrée deux fois. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois Face.

1

L'arbre comporte deux niveaux. Premier lancer : Face ( $\frac{1}{2}$ ) ou Pile ( $\frac{1}{2}$ ). Deuxième lancer : Face ( $\frac{1}{2}$ ) ou Pile ( $\frac{1}{2}$ ), indépendamment.

2

Les quatre chemins et leurs probabilités : FF $\to \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ; FP $\to \frac{1}{4}$ ; PF $\to \frac{1}{4}$ ; PP $\to \frac{1}{4}$ .

3

L'événement «exactement une Face» correspond aux chemins FP et PF : $P = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

$P(\text{exactement une Face}) = \dfrac{1}{2}$

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