Comment décrire la position relative de deux droites dans l'espace (parallèles, sécantes, gauches) ?

En vérifiant si les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles ou confondues), sinon en cherchant un éventuel point d'intersection (sécantes ou gauches)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Les droites $d_1 : A(1,0,0) + t(1,1,0)$ et $d_2 : B(0,1,0) + s(2,2,0)$ . Quelle est leur position relative ?

La méthode

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Je détermine un point et un vecteur directeur pour chaque droite : $d_1$ passe par $A$ avec vecteur $\vec{u}$ , et $d_2$ passe par $B$ avec vecteur $\vec{v}$ .
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Je teste si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Si oui, les droites sont parallèles : je vérifie ensuite si $\vec{AB}$ est aussi colinéaire à $\vec{u}$ (confondues si oui, strictement parallèles sinon).
Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?Voir
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Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, je cherche un point d'intersection en posant $A + t\vec{u} = B + s\vec{v}$ et en résolvant le système obtenu par identification des coordonnées.
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Si le système est compatible, les droites sont sécantes (je donne le point d'intersection) ; si incompatible, les droites sont gauches.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Les droites $d_1 : A(1,0,0) + t(1,1,0)$ et $d_2 : B(0,1,0) + s(2,2,0)$ . Quelle est leur position relative ?

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$A = (1,0,0)$ , $\vec{u} = (1,1,0)$ et $B = (0,1,0)$ , $\vec{v} = (2,2,0)$ .

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$\vec{v} = 2\vec{u}$ : les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles (ou confondues). Je teste $\vec{AB} = (-1,1,0)$ : $(-1,1,0) = \lambda(1,1,0) \Rightarrow -1 = \lambda$ et $1 = \lambda$ : contradiction. Donc $\vec{AB}$ n'est pas colinéaire à $\vec{u}$ .

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Pas d'intersection à chercher puisque les droites sont parallèles strictes.

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Les droites sont strictement parallèles (non confondues).

$d_1$ et $d_2$ sont strictement parallèles.

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