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Comment résoudre une équation du type cos⁡x=a\cos x = a ou sin⁡x=a\sin x = a sur un intervalle ?

En trouvant la solution principale (x0∈[0,π]x_0 \in [0,\pi] pour cos⁡\cos, x0∈[−π/2,π/2]x_0 \in [-\pi/2,\pi/2] pour sin⁡\sin), en déduisant les solutions générales par symétrie et périodicité, puis en sélectionnant celles dans l'intervalle demandé

L'objectif

Trouver toutes les solutions d'une équation trigonométrique sur un intervalle donné.

Le principe

Les fonctions cos⁡\cos et sin⁡\sin sont 2π2\pi-périodiques et symétriques : cos⁡x=cos⁡x0\cos x = \cos x_0 donne x=x0+2kπx = x_0 + 2k\pi ou x=−x0+2kπx = -x_0 + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}), et sin⁡x=sin⁡x0\sin x = \sin x_0 donne x=x0+2kπx = x_0 + 2k\pi ou x=π−x0+2kπx = \pi - x_0 + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}).

La méthode
  1. 1
    Vérifier l'existence de solutions : si ∣a∣>1|a| > 1, l'équation n'a pas de solution. Si ∣a∣≤1|a| \leq 1, continuer.
  2. 2
    Trouver la solution principale x0x_0 : pour cos⁡x=a\cos x = a, chercher x0∈[0,π]x_0 \in [0, \pi] tel que cos⁡x0=a\cos x_0 = a (valeur remarquable ou x0=arccos⁡ax_0 = \arccos a) ; pour sin⁡x=a\sin x = a, chercher x0∈[−π2,π2]x_0 \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] tel que sin⁡x0=a\sin x_0 = a (valeur remarquable ou x0=arcsin⁡ax_0 = \arcsin a).
  3. 3
    Écrire les solutions générales : pour cos⁡x=a\cos x = a : x=x0+2kπx = x_0 + 2k\pi ou x=−x0+2kπx = -x_0 + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z} ; pour sin⁡x=a\sin x = a : x=x0+2kπx = x_0 + 2k\pi ou x=π−x0+2kπx = \pi - x_0 + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
  4. 4
    Sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé : substituer des valeurs entières de kk dans chaque famille de solutions et ne retenir que celles appartenant à l'intervalle cible.
  5. 5
    Conclure en listant toutes les solutions retenues.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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