En encadrant $f(x)$ entre deux fonctions $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ayant la même limite $\ell$ , puis en concluant $\lim f = \ell$

Calculer la limite d'une fonction en l'encadrant entre deux fonctions dont on connaît la limite commune.

L'objectif

Calculer la limite d'une fonction en l'encadrant entre deux fonctions dont on connaît la limite commune.

Le principe

Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ au voisinage de $a$ (ou de $\pm\infty$ ), et si $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell$ , alors $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ .

La méthode

1
Isoler la partie de $f(x)$ qui pose problème (souvent un terme oscillant comme $\sin$ , $\cos$ ou un terme borné).
2
Encadrer $f(x)$ : utiliser le fait que $|\sin x| \leq 1$ , $|\cos x| \leq 1$ , ou tout autre encadrement connu, pour obtenir $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ .
3
Calculer $\lim g(x)$ et $\lim h(x)$ : vérifier qu'elles sont égales et valent $\ell$ .
4
Conclure par le théorème des gendarmes : $\lim f(x) = \ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$ .

Étape 1 —

Isoler la partie de

f(x)

qui pose problème (souvent un terme oscillant comme

\sin

\cos

ou un terme borné).

La difficulté vient de $\sin x$ , qui oscille entre $-1$ et $1$ .

Étape 2 —

Encadrer

f(x)

: utiliser le fait que

|\sin x| \leq 1

|\cos x| \leq 1

, ou tout autre encadrement connu, pour obtenir

g(x) \leq f(x) \leq h(x)

Encadrement : $-1 \leq \sin x \leq 1$ , donc $-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$ .

Étape 3 —

Calculer

\lim g(x)

\lim h(x)

: vérifier qu'elles sont égales et valent

\ell

$\lim_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ : même limite $\ell = 0$ .

Étape 4 —

Conclure par le théorème des gendarmes :

\lim f(x) = \ell

Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$ .

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos(x^2)}{x^2 + 1}$ .

Application autonome 1

Soit $f(x) = x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ . Calculer $\lim_{x \to 0} f(x)$ .

Application autonome 2

Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \sin x}{x} = 0$ .

Application autonome 3

Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + \sin x}{x - \cos x} = 1$ .

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En encadrant f(x)f(x)f(x) entre deux fonctions g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x) ayant la même limite ℓ\ellℓ, puis en concluant lim⁡f=ℓ\lim f = \elllimf=ℓ

Pour comprendre, fais des exercices !

En encadrant $f(x)$ entre deux fonctions $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ayant la même limite $\ell$ , puis en concluant $\lim f = \ell$