Comment appliquer le théorème des gendarmes à une fonction ? | MetMat

Comment appliquer le théorème des gendarmes à une fonction ?

En encadrant $f(x)$ entre deux fonctions $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ayant la même limite $\ell$ , puis en concluant $\lim f = \ell$

Calculer la limite d'une fonction en l'encadrant entre deux fonctions dont on connaît la limite commune.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$ .

L'objectif

Calculer la limite d'une fonction en l'encadrant entre deux fonctions dont on connaît la limite commune.

Le principe

Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ au voisinage de $a$ (ou de $\pm\infty$ ), et si $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell$ , alors $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ .

La méthode

1
Isoler la partie de $f(x)$ qui pose problème (souvent un terme oscillant comme $\sin$ , $\cos$ ou un terme borné).
2
Encadrer $f(x)$ : utiliser le fait que $|\sin x| \leq 1$ , $|\cos x| \leq 1$ , ou tout autre encadrement connu, pour obtenir $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ .
3
Calculer $\lim g(x)$ et $\lim h(x)$ : vérifier qu'elles sont égales et valent $\ell$ .
4
Conclure par le théorème des gendarmes : $\lim f(x) = \ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x}$ .

Étape 1 —

Isoler la partie de

f(x)

qui pose problème (souvent un terme oscillant comme

\sin

\cos

ou un terme borné).

La difficulté vient de $\sin x$ , qui oscille entre $-1$ et $1$ .

Étape 2 —

Encadrer

f(x)

: utiliser le fait que

|\sin x| \leq 1

|\cos x| \leq 1

, ou tout autre encadrement connu, pour obtenir

g(x) \leq f(x) \leq h(x)

Encadrement : $-1 \leq \sin x \leq 1$ , donc $-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$ .

Étape 3 —

Calculer

\lim g(x)

\lim h(x)

: vérifier qu'elles sont égales et valent

\ell

$\lim_{x \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{x}\right) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ : même limite $\ell = 0$ .

Étape 4 —

Conclure par le théorème des gendarmes :

\lim f(x) = \ell

Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$ .

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos(x^2)}{x^2 + 1}$ .

Application autonome 1

Soit $f(x) = x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ . Calculer $\lim_{x \to 0} f(x)$ .

Application autonome 2

Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \sin x}{x} = 0$ .

Application autonome 3

Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + \sin x}{x - \cos x} = 1$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En encadrant f(x)f(x)f(x) entre deux fonctions g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x) ayant la même limite ℓ\ellℓ, puis en concluant lim⁡f=ℓ\lim f = \elllimf=ℓ

Pour comprendre, fais des exercices !

En encadrant $f(x)$ entre deux fonctions $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ayant la même limite $\ell$ , puis en concluant $\lim f = \ell$