1

Identifier les paramètres de la population : espérance

\mu = E(X_i)

, variance

V = V(X_i)

, écart-type

\sigma = \sqrt{V}

.

2

Écrire

M_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)

et appliquer la linéarité de l'espérance :

E(M_n) = \frac{1}{n} \cdot nE(X_i) = \mu

.

3

Appliquer l'additivité de la variance (variables indépendantes) puis

V(aX) = a^2 V(X)

:

V(M_n) = \frac{1}{n^2} \cdot nV(X_i) = \frac{V}{n}

.

4

En déduire l'écart-type :

\sigma(M_n) = \sqrt{\frac{V}{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Interpréter : si

n

est multiplié par

4

, l'écart-type est divisé par

2

.

Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne $M_n$ d'un échantillon ?

En appliquant $E(M_n) = \mu$ , $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ , $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (l'écart-type est divisé par $\sqrt{n}$ )