Comment calculer une intégrale par intégration par parties ? | MetMat

Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?

En choisissant $u$ (à dériver, souvent polynôme ou $\ln$ ) et $v'$ (à intégrer, souvent $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ ), puis en appliquant $\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v$

Calculer $\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$ lorsqu'aucune primitive directe n'est disponible, en décomposant intelligemment le produit.

L'objectif

Calculer $\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$ lorsqu'aucune primitive directe n'est disponible, en décomposant intelligemment le produit.

Le principe

La formule d'IPP découle de la dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$ , d'où $\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x$ .

La méthode

1
Identifier $u$ et $v'$ dans l'intégrale (règle ILATE : Inverse trig, $\ln$ , Algébrique/polynôme, Trigonométrique, Exponentielle — choisir $u$ le plus à gauche).
2
Calculer $u'$ (dérivée de $u$ ) et $v$ (une primitive de $v'$ ).
Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?Voir
3
Appliquer la formule : $\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x$ .
4
Calculer le crochet $[u\,v]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$ , puis calculer l'intégrale restante $\int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x$ .
5
Conclure en combinant les résultats et en simplifiant.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x$ .

Étape 1 —

Identifier

u

v'

dans l'intégrale (règle ILATE : Inverse trig,

\ln

, Algébrique/polynôme, Trigonométrique, Exponentielle — choisir

u

le plus à gauche).

On pose $u = x$ (polynôme) et $v' = e^x$ (exponentielle).

Étape 2 —

Calculer

u'

(dérivée de

u

) et

v

(une primitive de

v'

On calcule $u' = 1$ et $v = e^x$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x

$\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x = [x\,e^x]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\,\mathrm{d}x$ .

Étape 4 —

Calculer le crochet

[u\,v]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)

, puis calculer l'intégrale restante

\int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x

$[x\,e^x]_0^1 = 1 \cdot e - 0 = e$ ; $\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = [e^x]_0^1 = e - 1$ .

Étape 5 —

Conclure en combinant les résultats et en simplifiant.

$\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x = e - (e-1) = 1$ .

$1$

Application guidée

Calculer $\int_1^e x\,\ln x\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 1

Calculer $\int_0^{\pi} x\,\sin x\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 2

Calculer $\int_1^e \ln x\,\mathrm{d}x$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2 e^x\,\mathrm{d}x$ .

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En choisissant uuu (à dériver, souvent polynôme ou ln⁡\lnln) et v′v'v′ (à intégrer, souvent exp⁡\expexp, sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos), puis en appliquant ∫abu v′=[u v]ab−∫abu′ v\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v∫ab​uv′=[uv]ab​−∫ab​u′v

Pour comprendre, fais des exercices !

En choisissant $u$ (à dériver, souvent polynôme ou $\ln$ ) et $v'$ (à intégrer, souvent $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ ), puis en appliquant $\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v$