MetMat
← Retour aux méthodes

Comment étudier une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) ?

En cherchant les points fixes de ff (solutions de f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell) pour identifier les limites candidates

L'objectif

Identifier les limites candidates d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) en résolvant l'équation de point fixe f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell.

Le principe

Si une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) converge vers ℓ\ell et si ff est continue, alors ℓ\ell est nécessairement un point fixe de ff, c'est-à-dire une solution de f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell.

La méthode
  1. 1
    Je pose l'équation de point fixe f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell (ce que vérifierait toute limite éventuelle de la suite).
  2. 2
    Je résous algébriquement f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell pour trouver toutes les solutions réelles (points fixes potentiels).
  3. 3
    Je sélectionne le ou les points fixes compatibles avec les valeurs prises par la suite (je vérifie que le point fixe est dans l'intervalle de stabilité).
  4. 4
    Je conclu : si la suite converge, sa limite est nécessairement ce point fixe (la convergence effective devra être prouvée par ailleurs, par exemple avec le théorème des suites monotones bornées).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.