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Comment énoncer et interpréter la loi des grands nombres ?

En énonçant que pour tout ε>0\varepsilon > 0, P(∣Mn−μ∣≥ε)→0P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0 quand n→+∞n \to +\infty, et en interprétant : la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance théorique

L'objectif

Énoncer la loi des grands nombres, l'interpréter en termes de convergence en probabilité et l'illustrer dans des situations concrètes.

Le principe

La loi des grands nombres affirme que si X1,…,XnX_1, \ldots, X_n sont indépendantes et identiquement distribuées d'espérance μ\mu, alors pour tout ε>0\varepsilon > 0, P(∣Mn−μ∣≥ε)→0P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0 quand n→+∞n \to +\infty : la moyenne empirique MnM_n converge en probabilité vers μ\mu.

La méthode
  1. 1
    J'identifie la variable aléatoire XX dont on répète l'expérience de façon indépendante, son espérance μ=E(X)\mu = E(X) et sa variance V(X)V(X).
  2. 2
    J'énonce la loi des grands nombres : pour tout ε>0\varepsilon > 0, P(∣Mn−μ∣≥ε)→0P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0 quand n→+∞n \to +\infty, où Mn=X1+⋯+XnnM_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}.
  3. 3
    Je précise ce que signifie la convergence en probabilité : il ne s'agit pas d'une certitude (MnM_n peut encore s'éloigner de μ\mu), mais la probabilité de tout écart, aussi petit soit-il, tend vers 00.
  4. 4
    J'interprète concrètement dans le contexte : plus nn est grand, plus il est probable que MnM_n soit proche de μ\mu, sans que cela soit jamais garanti avec certitude pour un nn fixé.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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