Comment calculer le nombre de k-uplets (listes ordonnées avec ou sans répétition) d'un ensemble à n éléments ?

En appliquant $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ pour les k-uplets sans répétition (arrangements)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Combien de façons peut-on ranger $3$ livres différents choisis parmi $7$ livres distincts sur une étagère ?

La méthode

1
J'identifie l'ensemble de départ de taille $n$ et la longueur $k$ de la liste à former.
2
Je vérifie que les répétitions ne sont pas autorisées : chaque élément ne peut figurer qu'une seule fois dans la liste.
3
J'applique la formule $A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1)$ , produit de $k$ facteurs consécutifs décroissants à partir de $n$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Combien de façons peut-on ranger $3$ livres différents choisis parmi $7$ livres distincts sur une étagère ?

1

L'ensemble de départ contient $n = 7$ livres ; on en choisit $k = 3$ dans un ordre donné.

2

Un même livre ne peut occuper deux emplacements : pas de répétition.

3

$A_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$ arrangements.

Il y a $210$ façons de ranger $3$ livres parmi $7$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

En appliquant $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ pour les k-uplets sans répétition (arrangements)