Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ? | MetMat

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

En paramétrant la droite, en exprimant que $\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0$ , puis en résolvant pour trouver le paramètre $t$

Déterminer les coordonnées du pied $H$ de la perpendiculaire abaissée de $M_0$ sur la droite $d$ .

L'objectif

Déterminer les coordonnées du pied $H$ de la perpendiculaire abaissée de $M_0$ sur la droite $d$ .

Le principe

Le projeté orthogonal $H$ est le seul point de $d$ tel que $\vec{M_0H}$ soit orthogonal au vecteur directeur $\vec{u}$ de $d$ .

La méthode

1
Paramétrer la droite : écrire $H = A + t\,\vec{u}$ , c'est-à-dire $H(x_A + t\,u_x,\; y_A + t\,u_y,\; z_A + t\,u_z)$ , où $A$ est un point connu de $d$ et $\vec{u}$ son vecteur directeur.
2
Exprimer $\vec{M_0H} = \overrightarrow{M_0H} = H - M_0$ en fonction de $t$ .
3
Écrire la condition d'orthogonalité $\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0$ et développer : on obtient une équation du premier degré en $t$ .
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?Voir
4
Résoudre pour $t$ , puis substituer dans la paramétrisation pour obtenir les coordonnées de $H$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Droite portée par l'axe $Ox$ , point hors de l'axe

Étape 1 —

Paramétrer la droite : écrire

H = A + t\,\vec{u}

, c'est-à-dire

H(x_A + t\,u_x,\; y_A + t\,u_y,\; z_A + t\,u_z)

, où

A

est un point connu de

d

\vec{u}

son vecteur directeur.

La droite $d$ passe par $A(0,0,0)$ avec $\vec{u}=(1,0,0)$ . On pose $H(t, 0, 0)$ . Le point est $M_0(2, 3, 1)$ .

Étape 2 —

Exprimer

\vec{M_0H} = \overrightarrow{M_0H} = H - M_0

en fonction de

t

$\vec{M_0H} = (t-2,\; -3,\; -1)$ .

Étape 3 —

Écrire la condition d'orthogonalité

\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0

et développer : on obtient une équation du premier degré en

t

$\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = (t-2)\cdot 1 + (-3)\cdot 0 + (-1)\cdot 0 = t - 2 = 0$ .

Étape 4 —

Résoudre pour

t

, puis substituer dans la paramétrisation pour obtenir les coordonnées de

H

$t = 2$ , donc $H(2, 0, 0)$ .

$H(2,\,0,\,0)$

Application guidée

Exemple 2 — Droite quelconque de l'espace

Application autonome 1

Exemple 3 — Vecteur directeur à coefficients négatifs

Application autonome 2

Exemple 4 — Vérification que $M_0$ n'est pas sur la droite

Application autonome 3

Exemple 5 — Point projeté coïncide avec le point de base

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