Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

En paramétrant la droite, en exprimant que $\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0$ , puis en résolvant pour trouver le paramètre $t$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — Droite portée par l'axe $Ox$ , point hors de l'axe

La méthode

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Paramétrer la droite : écrire $H = A + t\,\vec{u}$ , c'est-à-dire $H(x_A + t\,u_x,\; y_A + t\,u_y,\; z_A + t\,u_z)$ , où $A$ est un point connu de $d$ et $\vec{u}$ son vecteur directeur.
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Exprimer $\vec{M_0H} = \overrightarrow{M_0H} = H - M_0$ en fonction de $t$ .
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Écrire la condition d'orthogonalité $\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0$ et développer : on obtient une équation du premier degré en $t$ .
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?Voir
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Résoudre pour $t$ , puis substituer dans la paramétrisation pour obtenir les coordonnées de $H$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Droite portée par l'axe $Ox$ , point hors de l'axe

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La droite $d$ passe par $A(0,0,0)$ avec $\vec{u}=(1,0,0)$ . On pose $H(t, 0, 0)$ . Le point est $M_0(2, 3, 1)$ .

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$\vec{M_0H} = (t-2,\; -3,\; -1)$ .

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$\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = (t-2)\cdot 1 + (-3)\cdot 0 + (-1)\cdot 0 = t - 2 = 0$ .

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$t = 2$ , donc $H(2, 0, 0)$ .

$H(2,\,0,\,0)$

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Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

En paramétrant la droite, en exprimant que M0H⃗⋅u⃗=0\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0M0​H​⋅u=0, puis en résolvant pour trouver le paramètre ttt

Pour comprendre, passons aux exercices.

En paramétrant la droite, en exprimant que $\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0$ , puis en résolvant pour trouver le paramètre $t$