Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

En paramétrant la droite, en exprimant que $\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0$ , puis en résolvant pour trouver le paramètre $t$

L'objectif

Déterminer les coordonnées du pied $H$ de la perpendiculaire abaissée de $M_0$ sur la droite $d$ .

Le principe

Le projeté orthogonal $H$ est le seul point de $d$ tel que $\vec{M_0H}$ soit orthogonal au vecteur directeur $\vec{u}$ de $d$ .

La méthode

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Paramétrer la droite : écrire $H = A + t\,\vec{u}$ , c'est-à-dire $H(x_A + t\,u_x,\; y_A + t\,u_y,\; z_A + t\,u_z)$ , où $A$ est un point connu de $d$ et $\vec{u}$ son vecteur directeur.
2
Exprimer $\vec{M_0H} = \overrightarrow{M_0H} = H - M_0$ en fonction de $t$ .
3
Écrire la condition d'orthogonalité $\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0$ et développer : on obtient une équation du premier degré en $t$ .
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?Voir
4
Résoudre pour $t$ , puis substituer dans la paramétrisation pour obtenir les coordonnées de $H$ .

Difficulté croissante de 1 à 5

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En paramétrant la droite, en exprimant que M0H⃗⋅u⃗=0\vec{M_0H}\cdot\vec{u} = 0M0​H​⋅u=0, puis en résolvant pour trouver le paramètre ttt