Comment étudier la configuration d'une droite et d'un plan (intersection, parallélisme, appartenance) ? | MetMat

Comment étudier la configuration d'une droite et d'un plan (intersection, parallélisme, appartenance) ?

En substituant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan pour trouver $t$ (solution unique = sécante, impossible = parallèle, toujours vraie = incluse)

Déterminer si une droite est sécante, parallèle ou incluse dans un plan, et calculer le point d'intersection le cas échéant.

L'objectif

Déterminer si une droite est sécante, parallèle ou incluse dans un plan, et calculer le point d'intersection le cas échéant.

Le principe

Substituer la représentation paramétrique dans l'équation du plan donne une équation en $t$ : une solution → point d'intersection ; pas de solution → droite parallèle (strictement) ; identité → droite incluse dans le plan.

La méthode

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Écrire la représentation paramétrique de la droite $d$ : $x = x_0 + at$ , $y = y_0 + bt$ , $z = z_0 + ct$ .
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Substituer ces expressions dans l'équation cartésienne du plan et simplifier pour obtenir une équation en $t$ .
Comment déterminer l'équation cartésienne d'un plan ?Voir
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Analyser l'équation obtenue : si elle admet une solution unique $t_0$ , calculer les coordonnées du point d'intersection ; si elle est impossible, la droite est strictement parallèle au plan ; si elle est une identité ( $0 = 0$ ), la droite est entièrement incluse dans le plan.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

(Cas sécant) La droite $d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}$ et le plan $\mathcal{P} : x + y - z - 4 = 0$ . Étudier leur configuration.

Étape 1 —

Écrire la représentation paramétrique de la droite

d

x = x_0 + at

y = y_0 + bt

z = z_0 + ct

Représentation paramétrique : $x = 1+t$ , $y = 2t$ , $z = -1+t$ .

Étape 2 —

Substituer ces expressions dans l'équation cartésienne du plan et simplifier pour obtenir une équation en

t

Substitution : $(1+t) + 2t - (-1+t) - 4 = 0 \Rightarrow 1+t+2t+1-t-4 = 0 \Rightarrow 2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1$ .

Étape 3 —

Analyser l'équation obtenue : si elle admet une solution unique

t_0

, calculer les coordonnées du point d'intersection ; si elle est impossible, la droite est strictement parallèle au plan ; si elle est une identité (

0 = 0

), la droite est entièrement incluse dans le plan.

Solution unique $t = 1$ : la droite est sécante au plan. Point d'intersection : $x = 2$ , $y = 2$ , $z = 0$ , soit $I(2, 2, 0)$ .

$d$ est sécante à $\mathcal{P}$ en $I(2, 2, 0)$

Application guidée

(Cas parallèle strict) La droite $d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}$ et le plan $\mathcal{P} : x + y - 2z + 5 = 0$ . Étudier leur configuration.

Application autonome 1

(Cas inclus) La droite $d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = 2 + 2t \end{cases}$ et le plan $\mathcal{P} : x + y - z + 1 = 0$ . Étudier leur configuration.

Application autonome 2

(Cas sécant avec calcul) La droite $d : \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3t \end{cases}$ et le plan $\mathcal{P} : 2x - y + z - 1 = 0$ . Trouver le point d'intersection.

Application autonome 3

(Synthèse) La droite $d : \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 1 - 3t \end{cases}$ et le plan $\mathcal{P} : x - 2y + z + 2 = 0$ . Étudier leur configuration.

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En substituant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan pour trouver ttt (solution unique = sécante, impossible = parallèle, toujours vraie = incluse)

Pour comprendre, fais des exercices !

En substituant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan pour trouver $t$ (solution unique = sécante, impossible = parallèle, toujours vraie = incluse)