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Comment appliquer le théorème de convergence des suites monotones bornées ?

En montrant que la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée), concluant à la convergence, puis en déterminant la limite via ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) et la continuité de ff

L'objectif

Démontrer qu'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) converge et déterminer sa limite en appliquant le théorème des suites monotones bornées.

Le principe

Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge vers une limite ℓ\ell réelle ; si de plus ff est continue, cette limite vérifie ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).

La méthode
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    Je montre la monotonie par récurrence : j'étudie le signe de un+1−unu_{n+1} - u_n (ou le rapport un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} si les termes sont positifs) pour montrer que la suite est croissante ou décroissante.
    Voir
  2. 2
    Je montre le caractère borné par récurrence : si la suite est croissante, je cherche un majorant MM et je démontre un≤Mu_n \leq M pour tout nn ; si elle est décroissante, je cherche un minorant.
    Voir
  3. 3
    Je conclus par le théorème des suites monotones bornées : la suite est convergente vers une limite ℓ∈R\ell \in \mathbb{R}.
    Voir
  4. 4
    Je détermine ℓ\ell en passant à la limite dans la relation de récurrence un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) : par continuité de ff, ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell). Je résous cette équation et je sélectionne la solution compatible avec la suite.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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