Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'une équation a au moins une solution ?

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[0, 1]$.

$f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$ et $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$. Donc $0 = k$ est bien compris entre $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$ : $-1 < 0 < 1$.

D'après le TVI, il existe au moins un réel $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$.

L'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet donc au moins une solution dans $]0, 1[$.