Comment déterminer une taille d'échantillon pour garantir une précision $\varepsilon$ avec un risque $\alpha$ ? | MetMat

Comment déterminer une taille d'échantillon pour garantir une précision $\varepsilon$ avec un risque $\alpha$ ?

En utilisant l'inégalité de concentration $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2} \leq \alpha$ , puis en résolvant $n \geq \dfrac{V}{\alpha\varepsilon^2}$

Trouver la taille minimale $n$ d'un échantillon pour que la moyenne empirique $M_n$ soit à distance au plus $\varepsilon$ de l'espérance $\mu$ avec une probabilité d'erreur inférieure à $\alpha$ .

L'objectif

Le principe

Si $X_1, \ldots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de même espérance $\mu$ et même variance $V$ , alors $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ , et Bienaymé-Tchebychev donne $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2}$ .

La méthode

1
Identifier la variance $V$ de chaque observation (ou la majorer par $V \leq \dfrac{1}{4}$ si les variables suivent une loi de Bernoulli et que $p$ est inconnu).
Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne $M_n$ d'un échantillon ?Voir
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Relever les données du problème : la précision souhaitée $\varepsilon > 0$ et le risque maximal accepté $\alpha \in ]0, 1[$ .
3
Écrire l'inégalité de concentration : $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2}$ , puis imposer $\dfrac{V}{n\varepsilon^2} \leq \alpha$ .
Comment appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?Voir
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Résoudre pour $n$ : $n \geq \dfrac{V}{\alpha \varepsilon^2}$ . Prendre le plus petit entier vérifiant cette inégalité.
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Conclure en indiquant la taille minimale $n$ et interpréter : avec cet échantillon, on a $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \alpha$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un sondage d'opinion porte sur la proportion $p$ de personnes favorables à une mesure. On souhaite une précision de $\varepsilon = 0{,}02$ avec un risque $\alpha = 5\%$ . Déterminer la taille minimale de l'échantillon.

Étape 1 —

Identifier la variance

V

de chaque observation (ou la majorer par

V \leq \dfrac{1}{4}

si les variables suivent une loi de Bernoulli et que

p

est inconnu).

Chaque observation est une variable de Bernoulli de paramètre $p$ inconnu. On majore la variance par $V \leq \dfrac{1}{4}$ (maximum de $p(1-p)$ sur $[0,1]$ ).

Étape 2 —

Relever les données du problème : la précision souhaitée

\varepsilon > 0

et le risque maximal accepté

\alpha \in ]0, 1[

Les données sont $\varepsilon = 0{,}02$ et $\alpha = 0{,}05$ .

Étape 3 —

Écrire l'inégalité de concentration :

P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2}

, puis imposer

\dfrac{V}{n\varepsilon^2} \leq \alpha

On écrit $P(|M_n - p| \geq 0{,}02) \leq \dfrac{1/4}{n \times (0{,}02)^2} = \dfrac{1}{4n \times 0{,}0004} = \dfrac{625}{n}$ . On impose $\dfrac{625}{n} \leq 0{,}05$ .

Étape 4 —

Résoudre pour

n

n \geq \dfrac{V}{\alpha \varepsilon^2}

. Prendre le plus petit entier vérifiant cette inégalité.

On résout : $n \geq \dfrac{625}{0{,}05} = 12\,500$ .

Étape 5 —

Conclure en indiquant la taille minimale

n

et interpréter : avec cet échantillon, on a

P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \alpha

La taille minimale est $n = 12\,500$ . Avec cet échantillon, la fréquence observée $M_n$ est à distance au plus $0{,}02$ de $p$ avec une probabilité d'erreur inférieure à $5\%$ .

$n \geq 12\,500$

Application guidée

Un sondage d'opinion souhaite une précision de $\varepsilon = 0{,}05$ avec un risque $\alpha = 5\%$ . Déterminer la taille minimale de l'échantillon.

Application autonome 1

Un contrôle qualité mesure le diamètre de pièces. On sait que l'écart-type de chaque mesure est $\sigma = 0{,}3\,\mathrm{mm}$ . On veut que $P(|M_n - \mu| \geq 0{,}1) \leq 0{,}01$ . Quelle taille minimale faut-il ?

Application autonome 2

Une étude clinique mesure une variable $X$ avec $E(X) = \mu$ et $V(X) = 16$ . On souhaite $P(|M_n - \mu| \geq 1) \leq 0{,}04$ . Déterminer la taille minimale de l'essai.

Application autonome 3

Un fabricant teste une proportion de défauts $p$ inconnue. Il souhaite une précision $\varepsilon = 0{,}01$ avec risque $\alpha = 0{,}02$ . Quelle taille d'échantillon est nécessaire ?

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En utilisant l'inégalité de concentration P(∣Mn−μ∣≥ε)≤Vnε2≤αP(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2} \leq \alphaP(∣Mn​−μ∣≥ε)≤nε2V​≤α, puis en résolvant n≥Vαε2n \geq \dfrac{V}{\alpha\varepsilon^2}n≥αε2V​

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant l'inégalité de concentration $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2} \leq \alpha$ , puis en résolvant $n \geq \dfrac{V}{\alpha\varepsilon^2}$