Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ? | MetMat

Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ?

En encadrant $u_n$ entre deux suites $v_n \leq u_n \leq w_n$ ayant la même limite $\ell$ , puis en concluant $u_n \to \ell$

Démontrer la convergence d'une suite $u_n$ en l'encadrant par deux suites ayant la même limite.

L'objectif

Démontrer la convergence d'une suite $u_n$ en l'encadrant par deux suites ayant la même limite.

Le principe

Le théorème des gendarmes stipule que si $v_n \leq u_n \leq w_n$ pour tout $n$ et si $v_n \to \ell$ et $w_n \to \ell$ , alors $u_n \to \ell$ .

La méthode

1
Identifier une limite candidate $\ell$ en analysant l'expression de $u_n$ (souvent $0$ pour des suites oscillantes bornées).
2
Construire un encadrement $v_n \leq u_n \leq w_n$ valable pour tout $n$ (en utilisant des inégalités classiques : $|\sin n| \leq 1$ , $|\cos n| \leq 1$ , $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ , etc.).
3
Calculer les limites de $v_n$ et $w_n$ séparément et vérifier qu'elles sont toutes deux égales à $\ell$ .
4
Appliquer le théorème des gendarmes : $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $v_n \to \ell$ , $w_n \to \ell$ entraînent $u_n \to \ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer la limite de $u_n = \frac{\sin n}{n}$ .

Étape 1 —

Identifier une limite candidate

\ell

en analysant l'expression de

u_n

(souvent

0

pour des suites oscillantes bornées).

On devine que la limite est $0$ car $\sin n$ est borné et $n \to +\infty$ .

Étape 2 —

Construire un encadrement

v_n \leq u_n \leq w_n

valable pour tout

n

(en utilisant des inégalités classiques :

|\sin n| \leq 1

|\cos n| \leq 1

-1 \leq (-1)^n \leq 1

, etc.).

On utilise $|\sin n| \leq 1$ , donc $-1 \leq \sin n \leq 1$ . En divisant par $n > 0$ : $\frac{-1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$ .

Étape 3 —

Calculer les limites de

v_n

w_n

séparément et vérifier qu'elles sont toutes deux égales à

\ell

On calcule : $\lim_{n \to +\infty} \frac{-1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ . Les deux limites sont égales à $\ell = 0$ .

Étape 4 —

Appliquer le théorème des gendarmes :

v_n \leq u_n \leq w_n

v_n \to \ell

w_n \to \ell

entraînent

u_n \to \ell

Par le théorème des gendarmes : $\frac{-1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$ et les suites encadrantes tendent vers $0$ , donc $u_n \to 0$ .

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n}{n} = 0$

Application guidée

Déterminer la limite de $u_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$ .

Application autonome 1

Montrer que $u_n = \frac{n + \cos n}{n^2}$ converge et déterminer sa limite.

Application autonome 2

Étudier la limite de $u_n = \frac{E(n\sqrt{2})}{n}$ où $E$ désigne la partie entière.

Application autonome 3

Montrer que $u_n = \frac{\cos(n^2)}{\sqrt{n}}$ converge vers $0$ .

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