Comment factoriser par le terme prépondérant pour calculer une limite en $\pm\infty$ ? | MetMat

Comment factoriser par le terme prépondérant pour calculer une limite en $\pm\infty$ ?

En identifiant le terme de plus haut degré (polynôme) ou la fonction dominante, en le factorisant, puis en calculant la limite de l'expression simplifiée

Calculer la limite d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle en $\pm\infty$ en identifiant et factorisant le terme de plus haut degré.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (4x^3 - 7x^2 + 2)$ .

L'objectif

Calculer la limite d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle en $\pm\infty$ en identifiant et factorisant le terme de plus haut degré.

Le principe

En $\pm\infty$ , un polynôme $a_n x^n + \cdots + a_0$ est dominé par son terme de plus haut degré $a_n x^n$ ; on factorise par $a_n x^n$ pour obtenir $a_n x^n \times (1 + \text{termes} \to 0)$ , et la limite est celle de $a_n x^n$ .

La méthode

1
Identifier le terme de plus haut degré dans le numérateur et dans le dénominateur (pour une fraction) ou dans le polynôme.
2
Factoriser l'expression par ce terme dominant : $a_n x^n + \cdots + a_0 = a_n x^n \left(1 + \dfrac{a_{n-1}}{a_n x} + \cdots + \dfrac{a_0}{a_n x^n}\right)$ .
3
Calculer la limite des termes en $\dfrac{1}{x^k}$ (ils tendent tous vers $0$ en $\pm\infty$ ), ce qui simplifie l'expression.
4
Conclure : la limite est celle de $a_n x^n$ (ou du rapport $\dfrac{a_n x^n}{b_m x^m}$ pour une fraction).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (4x^3 - 7x^2 + 2)$ .

Étape 1 —

Identifier le terme de plus haut degré dans le numérateur et dans le dénominateur (pour une fraction) ou dans le polynôme.

Terme dominant : $4x^3$ .

Étape 2 —

Factoriser l'expression par ce terme dominant :

a_n x^n + \cdots + a_0 = a_n x^n \left(1 + \dfrac{a_{n-1}}{a_n x} + \cdots + \dfrac{a_0}{a_n x^n}\right)

On factorise : $4x^3 - 7x^2 + 2 = 4x^3\left(1 - \dfrac{7}{4x} + \dfrac{1}{2x^3}\right)$ .

Étape 3 —

Calculer la limite des termes en

\dfrac{1}{x^k}

(ils tendent tous vers

0

\pm\infty

), ce qui simplifie l'expression.

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{7}{4x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2x^3} = 0$ , donc le facteur parenthèse $\to 1$ .

Étape 4 —

Conclure : la limite est celle de

a_n x^n

(ou du rapport

\dfrac{a_n x^n}{b_m x^m}

pour une fraction).

$\lim_{x \to +\infty} 4x^3 \times 1 = +\infty$ .

$\lim_{x \to +\infty} (4x^3 - 7x^2 + 2) = +\infty$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to -\infty} (-2x^4 + x^2 - 3)$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x - 4}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^4 - 2x + 1}{-x^3 + 5x^2 + 7}$ .

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