Comment calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ , $P(k \leq X \leq k')$ pour une loi binomiale ?

En calculant la somme des termes $P(X = i)$ pour les valeurs $i$ concernées, en utilisant éventuellement $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

L'objectif

Calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ ou $P(k \leq X \leq k')$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ en sommant les probabilités ponctuelles nécessaires.

Le principe

La probabilité cumulée s'obtient par $P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$ , et on utilise la complémentarité $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ pour réduire le nombre de termes à calculer.

La méthode

1
J'identifie l'intervalle de valeurs concerné par l'événement (par exemple $\{0, 1, \ldots, k\}$ pour $X \leq k$ ).
2
Si cet intervalle est «petit» (peu de termes), je calcule directement chaque $P(X = i) = \dbinom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$ et j'additionne.
Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?Voir
3
Si l'intervalle est «grand», je passe par le complémentaire : $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ , ou $P(k \leq X \leq k') = P(X \leq k') - P(X \leq k-1)$ , de façon à sommer le moins de termes possible.
Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?Voir
4
Je donne la valeur numérique finale (exacte ou arrondie selon la consigne).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En calculant la somme des termes P(X=i)P(X = i)P(X=i) pour les valeurs iii concernées, en utilisant éventuellement P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)P(X≥k)=1−P(X≤k−1)

Exemple corrigé

En calculant la somme des termes $P(X = i)$ pour les valeurs $i$ concernées, en utilisant éventuellement $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$