Comment calculer $P(X \leq k)$, $P(X \geq k)$, $P(k \leq X \leq k')$ pour une loi binomiale ? | MetMat

Comment calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ , $P(k \leq X \leq k')$ pour une loi binomiale ?

En calculant la somme des termes $P(X = i)$ pour les valeurs $i$ concernées, en utilisant éventuellement $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

Calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ ou $P(k \leq X \leq k')$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ en sommant les probabilités ponctuelles nécessaires.

L'objectif

Calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ ou $P(k \leq X \leq k')$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ en sommant les probabilités ponctuelles nécessaires.

Le principe

La probabilité cumulée s'obtient par $P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$ , et on utilise la complémentarité $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ pour réduire le nombre de termes à calculer.

La méthode

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Identifier l'intervalle de valeurs concerné par l'événement (par exemple $\{0, 1, \ldots, k\}$ pour $X \leq k$ ).
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Si cet intervalle est «petit» (peu de termes), calculer directement chaque $P(X = i) = \dbinom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$ et additionner.
Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?Voir
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Si l'intervalle est «grand», passer par le complémentaire : $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ , ou $P(k \leq X \leq k') = P(X \leq k') - P(X \leq k-1)$ , de façon à sommer le moins de termes possible.
Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?Voir
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Donner la valeur numérique finale (exacte ou arrondie selon la consigne).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{B}(5 ; 0{,}4)$ . Calculer $P(X \leq 2)$ .

Étape 1 —

Identifier l'intervalle de valeurs concerné par l'événement (par exemple

\{0, 1, \ldots, k\}

pour

X \leq k

$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ . L'intervalle $\{0, 1, 2\}$ compte 3 termes.

Étape 2 —

Si cet intervalle est «petit» (peu de termes), calculer directement chaque

P(X = i) = \dbinom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

et additionner.

$P(X=0) = (0{,}6)^5 = 0{,}07776$ ; $P(X=1) = 5 \times 0{,}4 \times (0{,}6)^4 = 0{,}2592$ ; $P(X=2) = 10 \times (0{,}4)^2 \times (0{,}6)^3 = 0{,}3456$ .

Étape 3 —

Si l'intervalle est «grand», passer par le complémentaire :

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

, ou

P(k \leq X \leq k') = P(X \leq k') - P(X \leq k-1)

, de façon à sommer le moins de termes possible.

L'intervalle est petit, donc on additionne directement les trois termes.

Étape 4 —

Donner la valeur numérique finale (exacte ou arrondie selon la consigne).

$P(X \leq 2) = 0{,}07776 + 0{,}2592 + 0{,}3456 = 0{,}68256$ .

$P(X \leq 2) \approx 0{,}683$

Application guidée

Soit $X \sim \mathcal{B}(5 ; 0{,}4)$ . Calculer $P(X \geq 3)$ .

Application autonome 1

Soit $X \sim \mathcal{B}(6 ; 0{,}5)$ . Calculer $P(2 \leq X \leq 4)$ .

Application autonome 2

Soit $X \sim \mathcal{B}(10 ; 0{,}3)$ . Calculer $P(X \geq 1)$ .

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{B}(8 ; 0{,}3)$ . Calculer $P(X \leq 1)$ .

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En calculant la somme des termes P(X=i)P(X = i)P(X=i) pour les valeurs iii concernées, en utilisant éventuellement P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)P(X≥k)=1−P(X≤k−1)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant la somme des termes $P(X = i)$ pour les valeurs $i$ concernées, en utilisant éventuellement $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$