Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ? | MetMat

Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?

En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : $f$ convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes

Établir la convexité ou la concavité d'une fonction en démontrant une inégalité entre $f(x)$ et son équation de tangente.

L'objectif

Établir la convexité ou la concavité d'une fonction en démontrant une inégalité entre $f(x)$ et son équation de tangente.

Le principe

Une fonction $f$ dérivable est convexe sur $I$ si et seulement si, pour tout $a \in I$ , la courbe de $f$ est au-dessus de la tangente au point d'abscisse $a$ : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ pour tout $x \in I$ .

La méthode

1
Écrire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ : $T_a : y = f(a) + f'(a)(x - a)$ .
2
Former la différence $g(x) = f(x) - [f(a) + f'(a)(x - a)]$ qui représente l'écart entre la courbe et la tangente.
3
Étudier le signe de $g(x)$ : calculer $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ , chercher ses zéros, et utiliser un tableau de variations pour montrer que $g$ admet un minimum en $a$ avec $g(a) = 0$ .
4
Conclure : si $g(x) \geq 0$ pour tout $x$ , alors $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ , ce qui confirme que $f$ est convexe. Donner la signification géométrique : la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = x^4$ est convexe sur $\mathbb{R}$ en comparant sa courbe à la tangente en $a = 1$ , et en déduire l'inégalité $x^4 \geq 4x - 3$ .

Étape 1 —

Écrire l'équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

a

T_a : y = f(a) + f'(a)(x - a)

$f'(x) = 4x^3$ , donc $f(1) = 1$ et $f'(1) = 4$ . L'équation de la tangente en $a = 1$ est $T_1 : y = 1 + 4(x - 1) = 4x - 3$ .

Étape 2 —

Former la différence

g(x) = f(x) - [f(a) + f'(a)(x - a)]

qui représente l'écart entre la courbe et la tangente.

On forme $g(x) = f(x) - (4x - 3) = x^4 - 4x + 3$ .

Étape 3 —

Étudier le signe de

g(x)

: calculer

g'(x) = f'(x) - f'(a)

, chercher ses zéros, et utiliser un tableau de variations pour montrer que

g

admet un minimum en

a

avec

g(a) = 0

$g'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x-1)(x^2+x+1)$ . Comme $x^2+x+1 > 0$ pour tout $x$ (discriminant $< 0$ ), le signe de $g'$ est celui de $x-1$ . $g$ est décroissante sur $]-\infty, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$ , avec un minimum en $x = 1$ .

Étape 4 —

Conclure : si

g(x) \geq 0

pour tout

x

, alors

f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)

, ce qui confirme que

f

est convexe. Donner la signification géométrique : la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

$g(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ . Donc $g(x) \geq 0$ pour tout $x$ , c'est-à-dire $x^4 \geq 4x - 3$ . La courbe est au-dessus de sa tangente en $1$ .

$x^4 \geq 4x - 3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ : la courbe de $x^4$ est au-dessus de sa tangente en $1$ .

Application guidée

Montrer que $f(x) = e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ en montrant que $e^x \geq x + 1$ pour tout $x$ (tangente en $a = 0$ ).

Application autonome 1

Montrer que $f(x) = x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ pour tout point de tangence $a$ quelconque.

Application autonome 2

Montrer géométriquement que $f(x) = \ln x$ est concave sur $]0, +\infty[$ en comparant sa courbe à la tangente en $a = 1$ .

Application autonome 3

Montrer que $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est convexe sur $]0, +\infty[$ en comparant sa courbe à la tangente en $a = 1$ .

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En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : fff convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes

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En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : $f$ convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes