Comment étudier la convexité… : En comparant la position de la courbe par… — Tle spé maths | MetMat

Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?

En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : $f$ convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x) = x^4$ est convexe sur $\mathbb{R}$ en comparant sa courbe à la tangente en $a = 1$ , et en déduire l'inégalité $x^4 \geq 4x - 3$ .

La méthode

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Écrire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ : $T_a : y = f(a) + f'(a)(x - a)$ .
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Former la différence $g(x) = f(x) - [f(a) + f'(a)(x - a)]$ qui représente l'écart entre la courbe et la tangente.
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Étudier le signe de $g(x)$ : calculer $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ , chercher ses zéros, et utiliser un tableau de variations pour montrer que $g$ admet un minimum en $a$ avec $g(a) = 0$ .
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Conclure : si $g(x) \geq 0$ pour tout $x$ , alors $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ , ce qui confirme que $f$ est convexe. Donner la signification géométrique : la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = x^4$ est convexe sur $\mathbb{R}$ en comparant sa courbe à la tangente en $a = 1$ , et en déduire l'inégalité $x^4 \geq 4x - 3$ .

$f'(x) = 4x^3$ , donc $f(1) = 1$ et $f'(1) = 4$ . L'équation de la tangente en $a = 1$ est $T_1 : y = 1 + 4(x - 1) = 4x - 3$ .

On forme $g(x) = f(x) - (4x - 3) = x^4 - 4x + 3$ .

$g'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x-1)(x^2+x+1)$ . Comme $x^2+x+1 > 0$ pour tout $x$ (discriminant $< 0$ ), le signe de $g'$ est celui de $x-1$ . $g$ est décroissante sur $]-\infty, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$ , avec un minimum en $x = 1$ .

$g(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ . Donc $g(x) \geq 0$ pour tout $x$ , c'est-à-dire $x^4 \geq 4x - 3$ . La courbe est au-dessus de sa tangente en $1$ .

$x^4 \geq 4x - 3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ : la courbe de $x^4$ est au-dessus de sa tangente en $1$ .

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Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?

En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : fff convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes

Pour comprendre, passons aux exercices.

En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : $f$ convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes