En dérivant une deuxième fois la fonction dérivée $f'$

Calculer la dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$ pour pouvoir étudier sa convexité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x$ .

L'objectif

Calculer la dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$ pour pouvoir étudier sa convexité.

Le principe

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée : $f'' = (f')'$ . On l'obtient en appliquant les mêmes règles de dérivation à $f'$ .

La méthode

1
Calculer $f'(x)$ en appliquant les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée).
2
Simplifier $f'(x)$ autant que possible pour faciliter la deuxième dérivation.
3
Dériver $f'(x)$ une nouvelle fois pour obtenir $f''(x) = (f')'(x)$ , en appliquant à nouveau les règles de dérivation.
4
Simplifier $f''(x)$ et préciser son domaine de définition.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x$ .

Étape 1 —

Calculer

f'(x)

en appliquant les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée).

$f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$ .

Étape 2 —

Simplifier

f'(x)

autant que possible pour faciliter la deuxième dérivation.

$f'(x) = 4x^3 - 6x + 2$ est déjà sous forme développée.

Étape 3 —

Dériver

f'(x)

une nouvelle fois pour obtenir

f''(x) = (f')'(x)

, en appliquant à nouveau les règles de dérivation.

On dérive $f'$ : $f''(x) = 12x^2 - 6$ .

Étape 4 —

Simplifier

f''(x)

et préciser son domaine de définition.

$f''(x) = 12x^2 - 6 = 6(2x^2 - 1)$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

$f''(x) = 12x^2 - 6$

Application guidée

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = xe^x$ .

Application autonome 1

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = \ln(x)$ sur $]0, +\infty[$ .

Application autonome 2

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = e^{-x^2}$ .

Application autonome 3

Calculer $f''(x)$ pour $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ .

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