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Comment calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires par linéarité ?

En appliquant E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX)=aE(X)E(aX) = aE(X) (sans hypothèse d'indépendance), après avoir identifié les espérances élémentaires

L'objectif

Calculer E(aX+bY+c)E(aX + bY + c) en utilisant uniquement les espérances connues de XX et YY, sans hypothèse d'indépendance.

Le principe

L'espérance est un opérateur linéaire : E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+cE(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c pour tous réels a,b,ca, b, c, quelle que soit la dépendance entre XX et YY.

La méthode
  1. 1
    Identifier les variables aléatoires élémentaires X1,X2,…X_1, X_2, \ldots et les coefficients de la combinaison linéaire.
  2. 2
    Déterminer ou rappeler les espérances individuelles E(X1),E(X2),…E(X_1), E(X_2), \ldots (loi connue, tableau de loi, ou formule usuelle).
  3. 3
    Appliquer la linéarité : E ⁣(∑i=1naiXi+c)=∑i=1naiE(Xi)+cE\!\left(\sum_{i=1}^{n} a_i X_i + c\right) = \sum_{i=1}^{n} a_i E(X_i) + c.
  4. 4
    Calculer la valeur numérique en regroupant les termes.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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