Comment calculer une primitive d'une fonction de la forme $(v' \circ u) \times u'$ ?

En reconnaissant la forme $f(u(x)) \times u'(x)$ où $f = v'$ , puis en écrivant directement $F(x) = v(u(x)) + C$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer une primitive de $f(x) = 6e^{3x}$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Identifier la fonction intérieure $u(x)$ et calculer $u'(x)$ .
2
Vérifier que l'expression à intégrer est bien de la forme $f(u(x)) \cdot u'(x)$ (ou un multiple constant de cette forme) : $u'(x)$ doit apparaître comme facteur.
3
Identifier $f$ (la fonction extérieure appliquée à $u$ ) et trouver sa primitive $v$ telle que $v' = f$ (en utilisant le tableau des primitives usuelles).
Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?Voir
4
Écrire la primitive : $F(x) = v(u(x)) + C$ , en ajoutant éventuellement le facteur de correction si le coefficient de $u'$ n'est pas exactement $1$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer une primitive de $f(x) = 6e^{3x}$ sur $\mathbb{R}$ .

1

On pose $u(x) = 3x$ , donc $u'(x) = 3$ .

2

On écrit $f(x) = 6e^{3x} = 2 \cdot 3 \cdot e^{3x} = 2 \cdot e^{u(x)} \cdot u'(x)$ . La forme $e^{u(x)} \cdot u'(x)$ est bien présente avec un facteur $2$ .

3

La primitive de $e^t$ est $e^t$ , donc la primitive de $e^{u(x)} \cdot u'(x)$ est $e^{u(x)} = e^{3x}$ .

4

On obtient $F(x) = 2e^{3x} + C$ , $C \in \mathbb{R}$ . Vérification : $F'(x) = 2 \cdot 3e^{3x} = 6e^{3x}$ ✓.

$F(x) = 2e^{3x} + C$

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Comment calculer une primitive d'une fonction de la forme (v′∘u)×u′(v' \circ u) \times u'(v′∘u)×u′ ?

En reconnaissant la forme f(u(x))×u′(x)f(u(x)) \times u'(x)f(u(x))×u′(x) où f=v′f = v'f=v′, puis en écrivant directement F(x)=v(u(x))+CF(x) = v(u(x)) + CF(x)=v(u(x))+C

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment calculer une primitive d'une fonction de la forme $(v' \circ u) \times u'$ ?

En reconnaissant la forme $f(u(x)) \times u'(x)$ où $f = v'$ , puis en écrivant directement $F(x) = v(u(x)) + C$