Comment calculer une primitive d'une fonction de la forme $(v' \circ u) \times u'$ ? | MetMat

Comment calculer une primitive d'une fonction de la forme $(v' \circ u) \times u'$ ?

En reconnaissant la forme $f(u(x)) \times u'(x)$ où $f = v'$ , puis en écrivant directement $F(x) = v(u(x)) + C$

Calculer une primitive d'une expression de la forme $f(u(x)) \cdot u'(x)$ en utilisant la règle de composition.

L'objectif

Calculer une primitive d'une expression de la forme $f(u(x)) \cdot u'(x)$ en utilisant la règle de composition.

Le principe

Si $v' = f$ et si la fonction à intégrer est de la forme $f(u(x)) \cdot u'(x)$ , alors une primitive est $v(u(x))$ — c'est la réciproque de la règle de dérivation des fonctions composées.

La méthode

1
Identifier la fonction intérieure $u(x)$ et calculer $u'(x)$ .
2
Vérifier que l'expression à intégrer est bien de la forme $f(u(x)) \cdot u'(x)$ (ou un multiple constant de cette forme) : $u'(x)$ doit apparaître comme facteur.
3
Identifier $f$ (la fonction extérieure appliquée à $u$ ) et trouver sa primitive $v$ telle que $v' = f$ (en utilisant le tableau des primitives usuelles).
Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?Voir
4
Écrire la primitive : $F(x) = v(u(x)) + C$ , en ajoutant éventuellement le facteur de correction si le coefficient de $u'$ n'est pas exactement $1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer une primitive de $f(x) = 6e^{3x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction intérieure

u(x)

et calculer

u'(x)

On pose $u(x) = 3x$ , donc $u'(x) = 3$ .

Étape 2 —

Vérifier que l'expression à intégrer est bien de la forme

f(u(x)) \cdot u'(x)

(ou un multiple constant de cette forme) :

u'(x)

doit apparaître comme facteur.

On écrit $f(x) = 6e^{3x} = 2 \cdot 3 \cdot e^{3x} = 2 \cdot e^{u(x)} \cdot u'(x)$ . La forme $e^{u(x)} \cdot u'(x)$ est bien présente avec un facteur $2$ .

Étape 3 —

Identifier

f

(la fonction extérieure appliquée à

u

) et trouver sa primitive

v

telle que

v' = f

(en utilisant le tableau des primitives usuelles).

La primitive de $e^t$ est $e^t$ , donc la primitive de $e^{u(x)} \cdot u'(x)$ est $e^{u(x)} = e^{3x}$ .

Étape 4 —

Écrire la primitive :

F(x) = v(u(x)) + C

, en ajoutant éventuellement le facteur de correction si le coefficient de

u'

n'est pas exactement

1

On obtient $F(x) = 2e^{3x} + C$ , $C \in \mathbb{R}$ . Vérification : $F'(x) = 2 \cdot 3e^{3x} = 6e^{3x}$ ✓.

$F(x) = 2e^{3x} + C$

Application guidée

Calculer une primitive de $f(x) = \cos(2x+1)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Calculer une primitive de $f(x) = (2x+1)^4$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Calculer une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Calculer une primitive de $f(x) = xe^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

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En reconnaissant la forme f(u(x))×u′(x)f(u(x)) \times u'(x)f(u(x))×u′(x) où f=v′f = v'f=v′, puis en écrivant directement F(x)=v(u(x))+CF(x) = v(u(x)) + CF(x)=v(u(x))+C

Pour comprendre, fais des exercices !

En reconnaissant la forme $f(u(x)) \times u'(x)$ où $f = v'$ , puis en écrivant directement $F(x) = v(u(x)) + C$