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Comment étudier une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) ?

En utilisant la continuité de ff pour passer à la limite dans la relation un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) et valider la limite ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell)

L'objectif

Déterminer la valeur de la limite d'une suite récurrente convergente en passant à la limite dans la relation de récurrence.

Le principe

Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell et si ff est continue en ℓ\ell, alors le passage à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) donne ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) : la limite est un point fixe de ff.

La méthode
  1. 1
    Je suppose (ou j'ai démontré) que la suite (un)(u_n) converge vers un réel ℓ\ell. Alors la suite (un+1)(u_{n+1}) converge aussi vers ℓ\ell (décalage d'indice).
  2. 2
    Je vérifie que ff est continue en ℓ\ell (ou sur tout l'intervalle contenant les termes de la suite), ce qui est garanti si ff est une fonction usuelle (polynôme, fraction rationnelle, racine, exponentielle, etc.).
  3. 3
    Je passe à la limite dans la relation un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) : par continuité de ff, lim⁡n→+∞f(un)=f(lim⁡n→+∞un)=f(ℓ)\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f\left(\lim_{n \to +\infty} u_n\right) = f(\ell). Donc ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).
    Voir
  4. 4
    Je résous f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell et je sélectionne la solution cohérente avec les valeurs de la suite (signe, intervalle de stabilité). Je conclus en donnant la valeur de ℓ\ell.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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