Comment étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ ? | MetMat

Comment étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

En utilisant la continuité de $f$ pour passer à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ et valider la limite $\ell = f(\ell)$

Déterminer la valeur de la limite d'une suite récurrente convergente en passant à la limite dans la relation de récurrence.

L'objectif

Déterminer la valeur de la limite d'une suite récurrente convergente en passant à la limite dans la relation de récurrence.

Le principe

Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ donne $\ell = f(\ell)$ : la limite est un point fixe de $f$ .

La méthode

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Supposer (ou avoir démontré) que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ . Alors la suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$ (décalage d'indice).
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Vérifier que $f$ est continue en $\ell$ (ou sur tout l'intervalle contenant les termes de la suite), ce qui est garanti si $f$ est une fonction usuelle (polynôme, fraction rationnelle, racine, exponentielle, etc.).
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Passer à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ : par continuité de $f$ , $\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f\left(\lim_{n \to +\infty} u_n\right) = f(\ell)$ . Donc $\ell = f(\ell)$ .
Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?Voir
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Résoudre $f(\ell) = \ell$ et sélectionner la solution cohérente avec les valeurs de la suite (signe, intervalle de stabilité). Conclure en donnant la valeur de $\ell$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On admet que la suite $u_0 = 0$ , $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{3}$ converge. Déterminer sa limite par passage à la limite.

Étape 1 —

Supposer (ou avoir démontré) que la suite

(u_n)

converge vers un réel

\ell

. Alors la suite

(u_{n+1})

converge aussi vers

\ell

(décalage d'indice).

On note $\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n$ . La suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$ .

Étape 2 —

Vérifier que

f

est continue en

\ell

(ou sur tout l'intervalle contenant les termes de la suite), ce qui est garanti si

f

est une fonction usuelle (polynôme, fraction rationnelle, racine, exponentielle, etc.).

$f(x) = \dfrac{x + 4}{3}$ est une fonction affine, continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Passer à la limite dans la relation

u_{n+1} = f(u_n)

: par continuité de

f

\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f\left(\lim_{n \to +\infty} u_n\right) = f(\ell)

. Donc

\ell = f(\ell)

On passe à la limite dans $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{3}$ : $\ell = \dfrac{\ell + 4}{3}$ .

Étape 4 —

Résoudre

f(\ell) = \ell

et sélectionner la solution cohérente avec les valeurs de la suite (signe, intervalle de stabilité). Conclure en donnant la valeur de

\ell

$3\ell = \ell + 4$ , soit $2\ell = 4$ , d'où $\ell = 2$ .

$\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$

Application guidée

On admet que la suite $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = \dfrac{1}{1 + u_n}$ converge. Déterminer sa limite.

Application autonome 1

On admet que la suite $u_0 = 0$ , $u_{n+1} = \frac{u_n + 3}{2}$ converge. Déterminer sa limite.

Application autonome 2

On admet que la suite $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = \frac{1}{2 + u_n}$ converge. Déterminer sa limite.

Application autonome 3

On admet que la suite $u_1 = 2$ , $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{3}{u_n}\right)$ converge. Déterminer sa limite (algorithme de Héron).

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En utilisant la continuité de fff pour passer à la limite dans la relation un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​) et valider la limite ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell)ℓ=f(ℓ)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant la continuité de $f$ pour passer à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ et valider la limite $\ell = f(\ell)$