Comment étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

En utilisant la continuité de $f$ pour passer à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ et valider la limite $\ell = f(\ell)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On admet que la suite $u_0 = 0$ , $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{3}$ converge. Déterminer sa limite par passage à la limite.

La méthode

1
Supposer (ou avoir démontré) que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ . Alors la suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$ (décalage d'indice).
2
Vérifier que $f$ est continue en $\ell$ (ou sur tout l'intervalle contenant les termes de la suite), ce qui est garanti si $f$ est une fonction usuelle (polynôme, fraction rationnelle, racine, exponentielle, etc.).
3
Passer à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ : par continuité de $f$ , $\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f\left(\lim_{n \to +\infty} u_n\right) = f(\ell)$ . Donc $\ell = f(\ell)$ .
Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?Voir
4
Résoudre $f(\ell) = \ell$ et sélectionner la solution cohérente avec les valeurs de la suite (signe, intervalle de stabilité). Conclure en donnant la valeur de $\ell$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On admet que la suite $u_0 = 0$ , $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{3}$ converge. Déterminer sa limite par passage à la limite.

1

On note $\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n$ . La suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$ .

2

$f(x) = \dfrac{x + 4}{3}$ est une fonction affine, continue sur $\mathbb{R}$ .

3

On passe à la limite dans $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{3}$ : $\ell = \dfrac{\ell + 4}{3}$ .

4

$3\ell = \ell + 4$ , soit $2\ell = 4$ , d'où $\ell = 2$ .

$\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$

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Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

En utilisant la continuité de $f$ pour passer à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ et valider la limite $\ell = f(\ell)$