Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ? | MetMat

Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?

En étudiant le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour une suite à termes strictement positifs)

Déterminer le sens de variation d'une suite dont tous les termes sont strictement positifs.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la monotonie de la suite géométrique $u_n = 3 \times 2^n$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite dont tous les termes sont strictement positifs.

Le principe

Pour une suite à termes strictement positifs, si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ pour tout $n$ , la suite est croissante ; si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ , elle est décroissante.

La méthode

1
Vérifier que $u_n > 0$ pour tout $n$ (condition indispensable à cette méthode).
2
Calculer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et simplifier l'expression obtenue.
3
Comparer ce rapport à $1$ : étudier le signe de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} - 1$ .
4
Conclure : si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ , la suite est croissante ; si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ , elle est décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la monotonie de la suite géométrique $u_n = 3 \times 2^n$ .

Étape 1 —

Vérifier que

u_n > 0

pour tout

n

(condition indispensable à cette méthode).

$u_n = 3 \times 2^n > 0$ pour tout $n \geq 0$ .

Étape 2 —

Calculer le rapport

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

et simplifier l'expression obtenue.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3 \times 2^{n+1}}{3 \times 2^n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2$ .

Étape 3 —

Comparer ce rapport à

1

: étudier le signe de

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} - 1

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2 > 1$ pour tout $n$ .

Étape 4 —

Conclure : si

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1

, la suite est croissante ; si

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1

, elle est décroissante.

La suite est strictement croissante (raison $q = 2 > 1$ ).

La suite est strictement croissante.

Application guidée

Étudier la monotonie de la suite $u_n = 5 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ .

Application autonome 1

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \dfrac{n!}{2^n}$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 2

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \dfrac{3^n}{n^2 + 1}$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 3

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \dfrac{2^n}{n!}$ pour $n \geq 1$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En étudiant le rapport un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n}un​un+1​​ (pour une suite à termes strictement positifs)

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour une suite à termes strictement positifs)