Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?

En étudiant le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour une suite à termes strictement positifs)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la monotonie de la suite géométrique $u_n = 3 \times 2^n$ .

La méthode

1
Vérifier que $u_n > 0$ pour tout $n$ (condition indispensable à cette méthode).
2
Calculer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et simplifier l'expression obtenue.
3
Comparer ce rapport à $1$ : étudier le signe de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} - 1$ .
4
Conclure : si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ , la suite est croissante ; si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ , elle est décroissante.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Étudier la monotonie de la suite géométrique $u_n = 3 \times 2^n$ .

1

$u_n = 3 \times 2^n > 0$ pour tout $n \geq 0$ .

2

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3 \times 2^{n+1}}{3 \times 2^n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2$ .

3

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2 > 1$ pour tout $n$ .

4

La suite est strictement croissante (raison $q = 2 > 1$ ).

La suite est strictement croissante.

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En étudiant le rapport un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n}un​un+1​​ (pour une suite à termes strictement positifs)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En étudiant le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour une suite à termes strictement positifs)